数III 平均値の定理の問題で。

質問

平均値の定理を用いて、次の極限値を求めよ。
lim(x→+0) (e^x－e^tanx)/(x－tanx)
(書き方が分かりにくくて申し訳ありません。)

と言う問題なのですが、解答の一番初めに、
「x→+0であるから、0＜x＜π/2としてよい。このとき、x＜tanxが成り立つ」
と書かれているのですが、このx＜tanxというのが良く分かりません。

学校の数学の先生に質問に行ったら、
「この解答間違ってますねぇ。tanx＜xですよね。」とあっさり言われましたf(^^;)
しかし、正直、この先生は、授業中もミスが多いので、何とも信じ難く…(>_<;)
それで、念の為…と塾の先生に聞いてみたら「x＜tanxだよ。」と言われたのです。
どちらが正しいのでしょうか…。(-_-;)
どちらが正しいにしても、塾の先生には、
「こういうのはグラフを書いたら分かるけど、覚えるもんかな」と言われたのですが、
何とも、グラフを書いても分からないし、まるまる覚えると言うのは何だか納得行かないのです…。

回答お願い致します。

回答No.3

mickel131 · ベストアンサー

0＜x＜π/2 のとき、sin x ＜　x　＜　tanx
というのは、基礎的な事実で、たいていの数学IIIの教科書には出ている事柄と思います。教科書の「関数の極限」を扱っている節の、公式
lim[x→0]（sin x / x ) ＝　1
の証明の際に使われる準公式です。
三角形と扇形の面積を用いた証明が載っているはずです。

「覚える必要はない、グラフを描けばわかることだから。」、という学校の先生の言われる趣旨は、「覚えなくてはいけないことはたくさんある。全部はいきなり覚え切れない。だから、覚える事柄は精選して覚えましょう」、ということでしょう。
実は私も、そういう関係があることは知っていましたが、今まで「覚えては」いませんでした。
けれど、こういう式は、「余力があったら覚えた方がいい」に決まっています。同じようなものは、三角関数の積を和にかえる公式、和を積にかえる公式、など、いくらでもあります。
試験の時にさっと作ればいいのだけど、もっともっと習熟して、いちいち公式を作らなくてもいいようにしたいものです。

それから、グラフを描いてもわからない、グラフがかけない、この事実が教科書のどこにのっているかわからない、覚えていない、というのは、あなたの勉強がまだ整理されていない、復習ができていない、ということから来ますので、大変ですががんばってください。

「0＜x＜π/2 のとき、x　＜　tan　x 　を（微分法を用いて）証明せよ。」
　　微分法は、不等式の証明に利用できます。
f(x) = tan　x - x
とおくと、
f’(x) = （1/cos^2 x) - 1 = (1 - cos^2 x)/cos^2 x
ここで、
0＜x＜π/2 のとき、 0＜ cos x ＜1 だから、
　0＜cos^2 x＜1　であり、
f’(x) の分子＝(1 - cos^2 x)　＞　0
f’(x) の分母＝cos^2 x　＞　0
よって、0＜x＜π/2 のとき、常に　f’(x) ＞0
で、関数この区間で　f(x)　は単調に増加する。
よって、0＜x＜π/2 のとき、
f(x)　＞　f(0)
一方　f(0) =　0　-　tan 0 = 0
であるから、
f(x)　＞　0
tan　x - x　＞　0
x　＜　tan　x　（0＜x＜π/2 のとき）

こういう証明は未習でしょうが、もう間もなく学習するはずです。

ということで、塾の先生の言われた方が正しいのですが、授業中もミスが多いという高校の先生、過労や健康減退ということがありますので、大目に見てあげてください。

お礼

教科書には載っていませんが…f(^^;)
私の勉強不足には間違いないですね。勉強します。
ありがとうございました。

回答No.2

okkunokkun

グラフを書くとすぐにわかります。

x->0 のとき、　x≒sinx は知っていますか？

sinx の x=0 との交点は　y=x　と同じ（接している）のです。同様に　tanx　と　x=0 の交点も　y=x　と同じ傾きで、x=tanx の方が上にあります。これはcosx が　x->0 では１とみなせるから、 tanx=sinx/cosx であるので x->0 では tanx≒sinx≒x　とできます。

数学的には tanx-x　が正か負かを解けば　x<tanx　が証明できます。これはインボリュート関数と言い、微分の知識が必要になります。

http://www.khkgears.co.jp/cals/cals/khk/KHK501.html

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/node96.html

お礼

ありがとうございました。参考にさせて頂きます☆

回答No.1

shkwta

0＜x＜π/2 ⇒ x＜tan(x) です。
グラフを見ればすぐわかりますが、証明は：

x=0のとき、tan(x)-x=0
(d/dx)(tan(x)-x)＝(tan(x))^2 なので、0＜x＜π/2のときtan(x)-xは増加関数。
よって、0＜x＜π/2 ⇒ tan(x)-x＞0

お礼

じっくり考えてみます。ありがとうございます☆