入試問題なのですが

質問

関数f(x)=(x^2)logx(x＞0)を考える。
(1)y=f(x)の増減と凹凸を調べ、グラフをかけ。lim(x→+0)x^2logx=0を用いてよい。
(2)不定積分∫f(x)dxを求めよ。
(3)∫(1→a)f(x)dx=1/9となる正の数aを求めよ。

増減を調べて凹凸を調べるところまでは出来たのですが、その後が続きません。lim(x→+0)x^2logx=0を用いて、どのようにグラフをかけばよいのでしょうか？
ヒントを下さい。お願いします。

回答No.3

0lmn0lmn0 · ベストアンサー

(1)

f(x)=(x^2)logx=0
　(1,0)でｘ軸と交わる。

f'(x)=x+2xlogx
　　　=2x((1/2)+logx)
　　　=2x(logx-log(1/√e))=0

　x=(1/√e)の時、
　極小値（最小値）　f(1/√e)=-1/2e (1/√e,-1/2e)

f''(x)=1+2+2logx
　　　=2(logx-(-3/2))
　　　=2(logx-log(1/e√e))

　　　f(1/e√e)=-3/(2(e^3))
　変曲点（1/e√e、-3/(2(e^3)）　上に凸→下に凸。

確かにグラフは描き難いですね。
目盛は手計算するしか。
大雑把に、e=3 として、
1/√e=0.6
-1/2e=0.2
1/e√e=0.2
-3/(2(e^3)=0.1　程度。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
○----------------------------------------------------●(1,0)
　　　　●　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　・　　　　　　　　　　　　・
　　　　 ↑　　　　　　　　　　●
（1/e√e、-3/(2(e^3)）　　↑　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　(1/√e,-1/2e)

(2)部分積分で、

∫(x^2)logxdx
　=(1/3)(x^3)logx-∫(1/3)(x^2)
　=(1/3)(x^3)logx-(1/9)(x^3)+C

(3)∫(1→a)f(x)dx=1/9となる正の数a。

　F(x)=(1/3)(x^3)logx-(1/9)(x^3)+C
　　F(a)=(1/3)(a^3)loga-(1/9)(a^3)+C
　　F(1)=-(1/9)+C

　F(a)-F(1)=1/9
　　(1/3)(a^3)loga-(1/9)(a^3)+(1/9)=1/9
　　(1/3)(a^3)loga-(1/9)(a^3)=0
　　(1/3)loga-(1/9)=0
　　loga=1/3

　　a=e^(1/3)=(3)√e (三乗根e) 。

補足

回答ありがとうございます。お返事遅れてごめんなさい。
わかりやすく説明していただき、本当に助かりました！
今になって、増減表の書き方が合っているか不安になってきました。
０からの範囲でいいのでしょうか？０は定義されないので、斜線になって、あとは変曲点と極小の部分を入れて増減を書けばいいのでしょうか？
増減表は苦手なので、もしよかったらこの問題の増減表の書き方を教えて下さい。お願いします！

回答No.2

info22

(1)
f(x)→0(x→+0)　, f(1)=0
f'(x)=x(2(logx)-1)
f'(x)=0(x→+0),f'(e^(-1/2))=0　（x=e^(-1/2)で極小値＝最小値）
f''(x)=2(logx)+3
f''(e^(-3/2))=0　（x=e^(-3/2)で変曲点）
f''(e^(-1/2))
(eは自然対数の底）
でグラフを書いて下さい。

(2)部分積分して
∫f(x)dx=(1/3)(x^3)log(x) -(1/9)(x^3)+C
となればOKです。

(3)a>1に注意して
(1/3)(a^3)log(a) -(1/9)(a^3)-(-1/9)=1/9
(1/9)(a^3)(3log(a) -1)=0
a>0 → log(a)=1/3 →　a=？
後は分かりますね。

回答No.1

postro

＞lim(x→+0)x^2logx=0を用いて、どのようにグラフをかけばよいのでしょうか？
原点に白丸を書いて、そこから出発するグラフをかけばいいです。
＞(2)不定積分∫f(x)dxを求めよ。
x^2を　{(1/3)x^3}' として部分積分する
＞(3)∫(1→a)f(x)dx=1/9となる正の数aを求めよ。
上の不定積分がわかればできますね。