ベクトル場の線積分

質問

例えば
f=xi + yj + zk
としたときの(0,0,0)から(1,1,1)までの2点の路に沿うて
∫c　f・dr
を求める際、
tを媒介変数としてx=t,y=t,z=tと置いて解き進めていくと思います。
その過程でスカラー積を実行後、積分範囲を指定しなければならないと思います。（∫c →∫[0~1]のように）
なのですがこの積分範囲の決め方がわからず困っています。
どなたかよろしくお願いします。
条件が変わった際の例などもあると幸いです。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足の回答
>ここのt=0,1の決め方を詳しく教えていただいてもいいでしょうか？
すでに他の方も説明されています。積分経路のr方向のベクトルを、座標軸に投影すれば明らかでしょう。この関係はA#2の最初の行に
r=(√3)tと書いてあるではないですか？
x=y=z=tでrを0→√3まで積分すると言うことは、
座標(x,y,z)=(t,t,t)でいえば　(0,0,0)→(1,1,1)までの経路（積分経路長は√3）積分するからtにおきかえれば0→1となり、これが積分の範囲になります。

>前述の方法を用いたときの積分区間の決め方がわかりません。
後者の積分路の決め方でやればいいではないですか。

>例えば原点から(1,2,3)までの直線に沿うて線積分を行う際、前述の方法ではどのように積分区域を決定するのでしょうか？
どうしても前者の方法でやりたければ
x=t,y=2t,z=3tとおけばr=t√(1+4+9)=t√14でtの積分範囲はやはり[0,1]で良いでしょう。この範囲をtが変化すれば積分経路は(0,0,0)→(1,2,3)となるでしょう。

お礼

お手数かけてすいません。
やっとわかりました。
ありがとうございました。

回答No.6

arrysthmia

要するに、積分路をパラメータ表示した
パラメータの範囲が、線積分の積分範囲です。
余計なことを、考え過ぎていませんか？

原点から (1,2,3) までの線分を、
(t,2t,3t) とパラメータ表示すれば
積分範囲は 0≦t≦1、
(5t-5,10t-10,15t-15) と表示すれば
積分範囲は 1≦t≦6/5。
点とパラメータの対応を考えるだけです。

お礼

なるほど、そのように考えたらいいのですね。
わかりました、ありがとうございました。

回答No.4

arrysthmia

C のパラメータ表示は、
0≦t≦1 の範囲でしょう？
C に沿って積分するのですから、
その範囲が、積分範囲です。
計算の途中で、置換積分を行えば、
それに伴って、範囲の翻訳が起こる
だけです。

回答No.3

rnakamra

ベクトルとスカラーが混在しますので、記号を定義しておきます。
原点からの位置ベクトルをr→,r→方向の単位ベクトルをr~,r→の大きさをRとしますと、経路を直線x=y=z上にとり、(0,0,0)から(1,1,1)まで積分するとなると、r→=Rr~でr~は一定ですから
dr→=r~dR　積分範囲はR:0→√3
となります。(もちろんr~=(1/√3,1/√3,1/√3)です。)

この場合、x=y=x=tとするとRは
R^2=t^2+t^2+^2
となりますので、ここからdR→dtの関係が得られます。

回答No.2

info22

r=(√3)t, dr=(√3)dt
f・dr=(√3)t(√3)dt=3tdt
∫c (f・dr)=∫[t=0,1]3tdt
で計算すれば良いでしょう。
→ 3/2

別解として
経路を
C=C1+C2+C3
C1:(0,0,0)→(1,0,0)
C2:(1,0,0)→(1,1,0)
C3:(1,1,0)→(1,1,1）
と分割してそれぞれの経路に沿って積分して
∫c　f・dr＝∫c1　f・dr+∫c2　f・dr+∫c3　f・dr
=∫[0,1]xdx+∫[0,1]ydy+∫[0,1]zdz
=1/2+1/2+1/2=3/2
と積分してもいいですね。

補足

>∫c (f・dr)=∫[t=0,1]3tdt
ここのt=0,1の決め方を詳しく教えていただいてもいいでしょうか？

後述の積分路を区切った際はそれぞれ0,1で積分すればいいのはわかるのですが、前述の方法を用いたときの積分区間の決め方がわかりません。

例えば原点から(1,2,3)までの直線に沿うて線積分を行う際、前述の方法ではどのように積分区域を決定するのでしょうか？

回答No.1

noname#221368

想像ですが、fは保存場から導かれる力の類ではないですか？。fの成分がポテンシャルＦから、x，y，zの偏微分によって導かれる場合、積分結果は積分路cに関わらず、cの起終点の位置のみで決まります。

　違ってたら、またご連絡下さい。