線積分

質問

xy面上のスカラー場f(x,y)=xyに対し、線積分∫[C]drfを求めよ。
ただし、積分経路Cは(0,0)→(1,0)→(1,1)を結ぶ経路である。

∫[0,1]Ｘdx+∫［0,1]Ｙdy　としてからどうすればいいのですか？
詳しい解説お願いします。

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

#1は思い切り間違えているではないか！！。
何をやっているんだ、オレは。

C1:x = t, y = 0　　(t=0～1)
C2:x = 1, y = t　　(t = 0～1)
ではないか！！

C1に関しては
　dx/dt = 1
　dy/dt = 0
∴　ds = {√((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)}・dt = dt

C2に関しては、
　dx/dt = 0
　dy/dt = 1
∴　ds = {√((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)}・dt = dt

ですから、
　∫[C]fds = ∫[C1]fds + ∫{C2]fds
= ∫[0,1](t・0)dt + ∫[0,1](1・t)dt = ∫[0,1]tdt = 1/2
ですね。

ちなみに、
∫[C1]fds = ∫[C1]xyds = ∫[0,1](t・0)dt
となるのは、
C１ではx = t, y = 0なので、f(t,0) = t・0 (= 0)だから。
ここで、f(x,y) = xyね。

C2ではx = 1, y = tなのでf(1,t) = 1・t (= t)ね。

#1はなかったことにしてください（ポリポリ）。

お礼

∫[0,1](t・0)dt + ∫[0,1](1・t)dt =3/2ではないですか？

回答No.1

NemurinekoNya

これは、問題が間違っているな。
この線積分は∫[C]fdsのはずだ！！

[0,0]→[1,0]をC1、[1,0]→[1,1]をC2とする。
すると、
　C1:x = t, y = 0　　(t=0～1)
　C2:x = t, y = 1-t　　(t=1～0)

t=a～bというのは、t=aからt=bに変化させるくらいの意味で、
わたしが勝手に作った記号です。

dsは線素とか呼ばれるもので、
　ds = {√((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)}・dt
です。

∫[C]fds = ∫[C1]fds + ∫[C2]fds

∫[C1]fds = ∫[0,1]t・0ds = 0
なので、
∫[C2]fdsだけ、計算をすればいい。
このとき、
　dx/dt = 1
　dx/dt = -1
なので、
　ds = {√(1^2 + (-1)^2)}・dt = √2・dt

ですから、
∫[C2]fds = ∫[1,0]t・(1-t)・√2・dt = √2・(∫[1,0]tdt - ∫[1,0]t^2dt)
=√2・(-1/2 - (-1/3)) = -√2/6

よって、
∫[C]fds = -√2/6

とかなるんじゃないか。

自慢じゃないですが、わたしは計算をよく間違えるので、
∫[C2]fdsの定積分は自分でちゃんとやってください。わたしの計算を信じてはいけない。

ちなみに∫[1,0]は、積分の始端が1、終端が0なので、そこのところヨロシク。