締切済み 線積分の問題です 2016/06/23 13:20 ベクトル場F=xi+2(x+2)j+ykに関する次の線積分を求めよ。積分路Cは原点Oから点A(1.2.2)に向かう経路とする。 ∫cF・dr 調べてみましたがわかりません。どなたか解法を教えていただきたいです。 みんなの回答 (4) 専門家の回答 みんなの回答 Water_5 ベストアンサー率17% (56/314) 2016/06/24 18:24 回答No.4 原点Oから点A(1.2.2)に向かう経路によらないで 一定値になるのではないのか? 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 info222_ ベストアンサー率61% (1053/1707) 2016/06/23 18:31 回答No.3 No.1,No.2です。 ANo.2の補足コメントの回答 問題のようなベクトルFの場合、Cの積分経路の取り方により、線積分の値が異なってくるようですね、 ANo.1に書いたように、積分経路Cを座標軸に平行な経路C1,C2,C3等に分解して、線積分すると、経路を変えると、Fに対する線積分の結果は明らかに異なってきますね。 I=∫[C=C1+C2+C3] (xdx+2(x+2)dy+ydz) 閉路が変わると、x,y,zの積分の順番が変わってきます。 分解した各経路では、被積分変数以外は定数として積分することになります。 ANo.2の線積分の経路Cは、O(0,0,0)を始点とし終点のA(1,2,2)を直線で結ぶ経路での線積分の計算です。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 info222_ ベストアンサー率61% (1053/1707) 2016/06/23 16:20 回答No.2 No.1です。 ANo.1に式の転記ミスがありましたので訂正します。 以下と差し替えてください。 C={(x,y,z)=(t,2t,2t),t=0→1} として線積分すると x=t, y=z=2tなので F=ti+2(t+2)j+2tk, r=xi+yj+zk=ti+2tj+2tk dr=idt+2jdt+2kdt I=∫[C] F・dr=∫[0,1] {t+4(t+2)+4t}dt =∫[0,1] (9t+8)dt =[9t^2/2+8t][0,1] =(9/2)+8 =25/2 ...(答) 質問者 補足 2016/06/23 17:19 この方法と先ほどの方法で数値は一致しないのですか? 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 info222_ ベストアンサー率61% (1053/1707) 2016/06/23 14:19 回答No.1 I=∫[C] F・dr =∫[C] (xdx+3(x+2)dy+ydz) C=C1+C2+C3 C1={(0,0,0)→(1,0,0)}, C2={(1,0,0)→(1,2,0)}, C3={(1,2,0)→(1,2,2)} と積分経路を分解して積分すると I=∫[C1] xdx+∫[C2] 3(1+2)dy+∫[C3] 2dz =∫[0,1] xdx+∫[0,2] 9dy+∫[0,2] 2dz =([x^2/2][0,1])+([9y][0,2])+([2z][0,2]) =(1/2)+18+4 =45/2 ... (答) 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 線積分の問題 Φ=Arctan(y/x)とし、Cをxy平面上で原点とし半径aの円とする。 線積分∫c(∇Φ)・dr (drはベクトルです)を求めると、その値は0ではなく、2πになるのですが、なぜでしょうか。どなたかご教授願います。 線積分 ベクトル場F=xy e_x-z e_y+x^2 e_zとスカラー場φ=2xyz^2について、曲線Cをt=0からt=1にいたる空間曲線x=t^2,y=2t,z=t^3とするとき、次の線積分を経路Cに沿って計算せよ。 (1)∫[C] F × dr (2)∫[C] φ dr ただし、F,e_x,e_y,e_z,drのrはベクトルである。 です。途中式もお願いします。 ベクトルに関する線積分などの問題です ベクトル場A=x^3i+y^3j+z^3k、B=x^2i-z^2j+y^2kがある。 (i,j,kは、x,y,z方向の正の向きの単位ベクトルになります。) (1)線積分∫A・drを求めよ。経路は、(0,0,0)→(1,0,0)→(1,1,0)→(1,1,2)とする。 (2)ベクトル場Bの回転rotBを求めよ。 (3)次の面積分∫rotB・dSを求めよ。ただし、曲面Sは、xy平面上のz>=0にあって、原点を中心とする半径1の半円で囲まれた領域、S={(x,y,z)|x=0,z>=0,y^2+x^2<=1}とする。また、x>0を曲面Sの正の方向とする。 詳しい回答よろしくお願い致します。 (3)に関しては、ストークスの定理を使って線積分に直した方がいいのでしょうか? 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた? OKWAVE コラム 線積分 以下の線積分なのですが、どのように積分すればいいのか分かりません。 どなたか、解答もしくは方針だけでも教えてください。 F=-(GmM)/(|r|^3)・r Fとrはベクトル が与えられている。 (1) ∫[C_1]F・dr (2)∫[C_2]F・dr ただし、各積分領域は C_1については、 点(x_0,y_0,z_0)から点(x_1,y_1,z_1)への線積分で x=x_0+(x_1-x_0)t y=y_0+(y_1-y_0)t z=z_0+(z_1-z_0)t (0<=t<=1) である。 C_2については、円筒座標系で x=pcosφ y=psinφ z=h (0<=φ<=Φ) です。 わかりづらくてすみません。 線積分 スカラー場Φ=2x-yzの次の曲線Cに関する線積分∫Φdsを求める問題で、Cは原点Oから点(3、3、2)にいたる線分を求める 問題なんですけど、(ds/dt)dt=(dr/dt)dt を求めるためにrをどのようにすればよいのでしょうか? r=(t+1)i+(t+1)j+t (0≦t≦2)ですか? ベクトル場の線積分についての質問です。 ベクトル場の線積分についての質問です。 原点O(0,0,1)を通りP(1,1,1)を伸びる直線Cに沿って、ベクトル場A=-x^2i+2xzj+y^2kの線積分を求めよ っという問題なのですが、この積分範囲は本当に0~1なのでしょうか? 線積分は線の長さを求めるのだから直線Cという無限に伸びる線の線積分はパラメータで表示されるため0~tが積分範囲となると思ったのですがこれは間違った考え方なのでしょうか?もし誤った考えならばなぜなのかを教えて頂きたいです。 線積分について ∫C (3x^2+6y,-14yz,20xz^3)*dr(rはCに沿う単位ベクトル)という線積分 Cは原点 (0,0,0) と点 (1,1,1) を x=t,y=t^2,z=t^3に沿って結ぶ曲線 という問題の答えは、 ∫(9t^2,-14t^5,20t^10)・(1,2t,3t^2)dt=47/13でよろしいでしょうか? 違う答えのサイトが2つほどありまして、疑問です。 どなたかよろしくお願いします。 線積分の問題です Cをxy平面上の曲線y=x^2の(0,0)から、(1,1)まで向かう部分とする次のベクトル場Aに対し、線積分∫A・dsを求めよ。 A=2xi-3yj A=xyi-y^2j A=cosxi これらの問題の解き方でパラメータ形式を使わなくても楽に解くことが出来ると耳にしたのですが、どのようにして解けばいいのでしょうか? ご教授お願いいたします。 線積分についての質問です 線積分の問題が分かりません… f(x,y)=-y/(x^2+y^2) g(x,y)=x/(x^2+y^2) であるとき、原点Oを中心とする半径aの円Cに沿った次の線積分をもとめよ ∫c(f(x,y)dx+g(x.y)dy) お力添えお願いいたします 線積分? 次の曲線Cの長さs=∫[C]√(dr•dr)を求めよ。ただし、aはa>0なる定数とし、drのrはベクトルである。 (1) 放物線:y=x^2 (0≦x≦1) (2)心臓系:r=a(1+cosθ) (0≦θ≦2π) です。これって、線積分なのか良くわからないのですが、途中式もお願いします。 線積分 xy面上のスカラー場f(x,y)=xyに対し、線積分∫[C]drfを求めよ。 ただし、積分経路Cは(0,0)→(1,0)→(1,1)を結ぶ経路である。 ∫[0,1]Xdx+∫[0,1]Ydy としてからどうすればいいのですか? 詳しい解説お願いします。 ベクトルの線積分の問題がわかりません ベクトルA=xsinyi-cosyj+z^2kの次の曲線Cに沿っての線積分∫cベクトルA・drを求めよ。 Cは曲線r=πti+2πt^2j+tk(0≦t≦1)とする。 ご解説をお願いします。 日本史の転換点?:赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 線積分の問題です よろしくお願いします 下の問題がわかりません、結構考えてみて、グリーンの定理をつかってこの線積分が経路に依存しないことを示せばいいのではと思ったのですが、示せませんでした。 どなたかお分かりの方、教えていただければ幸いです。 不足なところがあれば補足させていただきますので、よろしくお願いします。 xy平面の4点O(-a,-a),A(a,-a),B(a,a),C(-a,a)を結んで出来る正方形の周囲を O→A→B→C→Oと反時計回りに回る曲線をCとする。 この時次の線積分を計算せよ。 経路をCとして、∫xe^(-y^2)dx+{(-x^2)ye^(-y^2)+1/(x+y)}dy 線積分について 線積分で、A、drをベクトルとして∫c A・dr は仕事を意味しますが、∫c A×drは何を意味するのでしょうか。トルクで考えようと思ったのですが、よく分かりませんでした。どなたか教えてください。 線積分の経路依存性問題 (0,0)を始点とし(1,1)を終点とするような3通りの経路C1,C2,C3を考える。 ただし、C3は放物線 y=x^2に沿った経路とする。 次のベクトル場に対し、3通りの線積分 ∫_Ci V・dr (i=1,2,3)を求めよ。(V , r はベクトルです。) (1) V=(x,y) (2) V=(-y,x) もし、この問題を解説できる方がいらっしゃいましたら ご協力よろしくお願いいたしますm(__)m 線積分 ベクトル場A=(3x^2+6y) e_x-14yz e_y+20xz^2 e_zについて、点(0,0,0)から点(1,1,1)までの線積分∫[C]A•drを、次に示される経路Cに沿って計算せよ。A,r,e_x,e_y,e_zはベクトルである。 (1)x=t,y=t^2,z=t^3 (2)点(0,0,0)から点(1,1,1)までの直線 (3)点(0,0,0)から点(1,0,0)、ついで点(1,1,0)、ついで点(1,1,1)までの直線 です。途中式もお願いします。 線積分 xy面上のスカラー場f(x,y)=xyに対し、線積分∫[C]drfを求めよ。 ただし、積分経路Cは(0,0)→(1,1)を結ぶ経路である。 C:x = t, y = t (t=0~1) dx/dt = 1 dy/dt = 1 ∴ ds = {√((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)}・dt = √(2)dt ここからどうすればよいのですか? 詳しい解説お願いします。 ベクトル解析、線積分 添付画像の曲線Ci上の線積分(ただし、c3,c6はy=x^2です)を求める。 ∫(Ci)V・drを求めよ。 V=(x、y)、drはともにベクトルとします。 (疑問1) (1)∫(C1)V・dr=∫(0→1)xdx+∫(0→1)ydy=1* (2)~(3)ともに*という式になる (4)∫(C4)V・dr=∫(0→2)xdx+∫(0→4)ydy=10☆ (5)~(6)ともに☆という式になる。 ∫(C)V・drはベクトル場Vに対し、微小な変位を表すベクトルdr=(dx、dy)の内積を経路C上に渡って計算する。V=(u,v)に対し、V・dr=udx+VdYになるから、それぞれxとyの定義域にわたって足しあわせる。と考えて立てた式なのですが、正しいでしょうか? (疑問2) (例)y=2x(0≦x≦1)をCとする、 ∫(C)(x+y、xy)dr=∫(0→1)3xdx+∫(0→2)Y^2/2dyのように、 上の(2)などで、 ∫(C2)(xdx+ydy)=∫(0→1)xdx+∫(0→1)xdy=1/2+x/2とした(後半部分にy=xを代入した)ら間違えでした。 どうしてこの式は間違えなのでしょうか? (例と同じように考えているはずなのですが) 選積分の問題です、教えてください! 選積分の問題です、教えてください! 原点O、点P(3,1,2)とし、スカラー場f(x,y,z)=zy^2+xZ^2+yx^2とする。 1,媒介変数tを用いて直線OPの方程式を求めよ。 2,線分OPをCとするとき、線積分∫fdsを求めよ(積分範囲はC) お願いします 線積分 線積分についてわからないところがあるので、教えてください。 XY平面状で原点Oから点A(1,1,0)に至る曲線y=x^3及び、 OからB(1,1,0)を経てAに至る折れ線に関するA→=xyi→+xj→の線積分を求めよ という問題なのですが、 線積分の定義により、∫A→・dlなので、 A→・dl=(xyi+xj)・(dxi+dyj+dzk)で=xydx+xdy となりますよね? ここでdy=3x^2dxなので、 上式=x^4dx+3x^3dxとなりますよね? でも、未だに線積分の積分区間が良く理解できないので、 ここで行き詰ってしまいます。 このあとはどうすればよいのでしょうか? あと、折れ線のほうはどうすれば良いのでしょうか? 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば? 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補足
この方法と先ほどの方法で数値は一致しないのですか?