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線積分の問題です

ベクトル場F=xi+2(x+2)j+ykに関する次の線積分を求めよ。積分路Cは原点Oから点A(1.2.2)に向かう経路とする。          ∫cF・dr 調べてみましたがわかりません。どなたか解法を教えていただきたいです。

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  • Water_5
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回答No.4

原点Oから点A(1.2.2)に向かう経路によらないで 一定値になるのではないのか?

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  • info222_
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回答No.3

No.1,No.2です。 ANo.2の補足コメントの回答 問題のようなベクトルFの場合、Cの積分経路の取り方により、線積分の値が異なってくるようですね、 ANo.1に書いたように、積分経路Cを座標軸に平行な経路C1,C2,C3等に分解して、線積分すると、経路を変えると、Fに対する線積分の結果は明らかに異なってきますね。 I=∫[C=C1+C2+C3] (xdx+2(x+2)dy+ydz) 閉路が変わると、x,y,zの積分の順番が変わってきます。 分解した各経路では、被積分変数以外は定数として積分することになります。 ANo.2の線積分の経路Cは、O(0,0,0)を始点とし終点のA(1,2,2)を直線で結ぶ経路での線積分の計算です。

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  • info222_
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回答No.2

No.1です。 ANo.1に式の転記ミスがありましたので訂正します。 以下と差し替えてください。 C={(x,y,z)=(t,2t,2t),t=0→1} として線積分すると x=t, y=z=2tなので F=ti+2(t+2)j+2tk, r=xi+yj+zk=ti+2tj+2tk dr=idt+2jdt+2kdt I=∫[C] F・dr=∫[0,1] {t+4(t+2)+4t}dt =∫[0,1] (9t+8)dt =[9t^2/2+8t][0,1] =(9/2)+8 =25/2 ...(答)

nizikuzyaku
質問者

補足

この方法と先ほどの方法で数値は一致しないのですか?

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  • info222_
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回答No.1

I=∫[C] F・dr =∫[C] (xdx+3(x+2)dy+ydz) C=C1+C2+C3 C1={(0,0,0)→(1,0,0)}, C2={(1,0,0)→(1,2,0)}, C3={(1,2,0)→(1,2,2)} と積分経路を分解して積分すると I=∫[C1] xdx+∫[C2] 3(1+2)dy+∫[C3] 2dz =∫[0,1] xdx+∫[0,2] 9dy+∫[0,2] 2dz =([x^2/2][0,1])+([9y][0,2])+([2z][0,2]) =(1/2)+18+4 =45/2 ... (答)

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