ベクトル解析の問題

質問

ベクトル解析の問題です

r~=xi~+yj~+zk~
r=√(x^2+y^2+z^2)

ψ=Q/r、 E~=Q/r^3*r~とするとき以下の問いに答えよ

（１）∇r
(2)E=-∇ψであることを示せ
（３）∇・E~を求めよ

お手数ですが計算過程、解説も交えてお教え願いたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

丁寧にx,y,z各成分毎に計算すればよいだけです。
このような計算は一度は自分でやっておかないといけないことだと思いますので方針のみを説明します。

(1)∇=i~∂/∂x+j~∂/∂y+k~∂/∂z です。
x成分(i~成分)は
∂r/∂x=(∂/∂x)√(x^2+y^2+z^2)
となります。後は計算するだけ。
y,z成分は同様に計算できます。

(2)
x成分は
-∂ψ/∂x=-Q(∂/∂x)(1/r)=-Q(-1/r^2)(∂r/∂x)
です。この偏微分は(1)の結果を利用して求めることが出来ます。

(3)E~=Exi~+Eyj~+Ezk~とすれば
∇・E~=∂Ex/∂x+∂Ey/∂y+∂Ez/∂z
です。あとはE~の式からEx,Ey,Ezを求めて代入、偏微分を行えばよい。

ベクトル解析の公式の証明のような問題はただひたすら計算するだけです。