ベクトル場の線積分についての質問です。

質問

ベクトル場の線積分についての質問です。
原点O(0,0,1)を通りP(1,1,1)を伸びる直線Cに沿って、ベクトル場A=-x^2i+2xzj+y^2kの線積分を求めよ
っという問題なのですが、この積分範囲は本当に0～1なのでしょうか？
線積分は線の長さを求めるのだから直線Cという無限に伸びる線の線積分はパラメータで表示されるため0～tが積分範囲となると思ったのですがこれは間違った考え方なのでしょうか？もし誤った考えならばなぜなのかを教えて頂きたいです。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

>原点O(0,0,1)を通りP(1,1,1)を伸びる直線Cに沿って、ベクトル場A=-x^2i+2xzj+y^2kの線積分を求めよ

は
「原点O(0,0,0)からP(1,1,1)まで伸びる直線経路Cに沿って、ベクトル場A=-x^2i+2xzj+y^2kの線積分を求めよ」
ということでしょう、積分経路はO(0,0,0)が始点、P(1,1,1)が終点です。
なので積分経路C上の点をパラメータ表示すると
r=(x,y,z)=(t,t,t)=ti+tj+tk
dr=dxi+dyj+dzk=(i+j+k)dt
となります。この点を積分経路に沿ってOからPまで線積分するにはtを使ってパラメータによる積分区間は[0,1]となります。

>線積分は線の長さを求めるのだから直線Cという無限に伸びる線の線積分はパラメータで表示されるため0～tが積分範囲となると思ったのですがこれは間違った考え方なのでしょうか？

間違いです。
Oを始点、Pを終点とする線分OPを積分毛糸とするベクトル場Aの線積分です。つまりAとdr=dxi+dyj+dzkとの内積をとって、OからPを結ぶ線分OPに沿って積分すれば言い訳です。

>もし誤った考えならばなぜなのかを教えて頂きたいです。
ベクトル場Aでの線積分は位置ベクトルを
r=ix+jy+kzとしたとき
Aとdrの内積を積分経路Cに沿って始点Oから終点Pまで積分せよ。ということなのです。
エクトル場での線積分については、教科書または参考書等で復讐、確認しておいてください。

線積分は次のように計算します。
∫[C] A・dr=∫[C] (-x^2i+2xzj+y^2k)・(dxi+dyj+dzk
=∫[0,1] (-t^2+2t^2+t^2)dt
=∫[0,1] 2t^2dt=[(2/3)t^3][0,1]
=2/3
という結果が得られます。

お礼

日本語の問題でもありましたね(~_~;)
ありがとうございました！

回答No.1

trytobe

直線 C の途中の O から P までの線積分なのであるから、

端Oから端Pを、０からｔまで、と定義してパラメータ表示してもいいが、

結局、端Oから端Pを、０から１まで、と定義してパラメータ表示したほうが、原点O(0,0,1) と P(1,1,1) の間の計算なら ｔ なんかいらずに楽なのではないか、

と思いますが。間違ってはいないが、難しく考えるメリットが見当たらない。