周期関数の基本周期についてです

質問

(1)sin3x+3sin5x
(2)sin3x-sinx
の基本周期が両方とも2πとありますが、なぜなのか教えてください。
よろしくいお願いします。

回答No.4

arrysthmia

x=0として必要導出を行っているから、
証明の末尾に、毎度の
十分性に関するオマジナイが必要。

回答No.3

mister_moonlight

(1)sin3x+3sin5x は計算が面倒そうなんで、(2)sin3x-sinx　をやってみる。但し、方法は同じ。

f（x）＝sin3x-sinx　の任意の周期の1つをmとすると、任意のxについて、f（x＋m）＝f（x）が成立する。
特に、x＝0の場合でも成立するから、sin3m-sinm＝（3倍角の公式で展開して）＝（sinm）*{1-2（sinm）＾2}　＝0.
この三角方程式を解くと、nを正の整数として、x＝2nπ、x＝2nπ＋π/4、x＝2nπ＋13π/4。
従って、基本周期はn＝1とすれば良いから、x＝2π。

(1)sin3x+3sin5x も計算が煩そうだが、上の方法で出来るはず。

回答No.2

arrysthmia

2πが周期の一つであることは、
x = z + 2π でも代入してみれば判るでしょう。
基本周期であることは、
0 ≦ x ≦ 2π でのグラフを描けば確認できます。

回答No.1

noname#101087

>(1)sin3x+3sin5x
>(2)sin3x-sinx
>の基本周期が両方とも2πとありますが、なぜ .....

まず、基本から。

・sin(x) の基本周期は 2π。

・ m が整数のとき、sin(mx) の基本周期は 2π/m。

・ sin(mx) sin(nx) の一次結合の基本周期は、m と n の最大公約数を p として、2π/p 。