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三角関数の問題
- 高校数学の三角関数の問題です。関数f(x)が周期関数かどうか判定し、周期を求める問題です。
- f(x)=sin(sinx)の場合、f(x+2π)=f(x)であるため周期関数であり、周期は2πです。
- f(x)=cos(sinx)の場合、f(x+π)=f(x)であるため周期関数であり、周期はπです。
- arutemawepon
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- 数学・算数
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周期関数の周期が（例えば）πであることを示すには、 ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋π）が常に成り立つことを示す必要が あります。これはその関数の性質から導くしかない。 例えばｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｓｉｎｘ）であれば、カッコの中のｓｉｎｘは 周期２πの周期関数なのだから、ｆ（ｘ）の周期性を考える には最大２πの範囲を見ればいいことになります。で、 やってみると事実２πであることが判る。 ではｇ（ｘ）＝ｃｏｓ（ｓｉｎｘ）の場合はというと、カッコの中は ｓｉｎｘでやはり周期２πなので、ｇ（ｘ）の周期性を考えるには 最大２πの範囲を見ればいいのですが、実際にやってみると πでもいい（つまりｇ（ｘ）＝ｇ（ｘ＋π）である）ことが判る。 解説の画像を見ていると、単に増減が一致していること を根拠に周期性を判断しているようにも見えて、不親切では ないかとも感じます。 で、上記のことが言えるのであれば ０＜＝ｘ＜＝２π であろうが ーπ／２＜＝ｘ＜＝３π／２ であろうが構わないし、その範囲での関数の値が 「上がって、下がる」 でも 「下がって、上がる」 でも 「一旦上がって、下がってから再び上がり、さらに下がる」 でも構わない。ただ単純な増減の方が面倒くさくないという ことです。
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- yyssaa
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＞No.6の補足について でも大体どの範囲で調べてみようみたいな目星はどこでつければ良いのですか？例えば0<=x<2πの範囲で調べて見ようみたいな ＞sin、cosの周期は2πだから、その範囲の関数なら2πの範囲を調べればよい。
お礼
御返答有難うございます
補足
分かりました、じゃあsinやcosだけの関数だったらとりあえず周期は2π以下と考えていいんですね？
- gohtraw
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グラフ描いてご覧よ。 いずれの問題も周期が２π以下であることは明らかなのだから 範囲は２πに少し上乗せして３πくらいとかで。 そしたら（１）の周期は２πで（２）の周期はπであることが見えて くるから。 実は（２）については ｓｉｎ（ｘ＋π）＝－ｓｉｎｘ であり、 ｃｏｓの性質として ｃｏｓΘ＝ｃｏｓ（－Θ） であることから、 ｃｏｓ（ｓｉｎ（ｘ＋π））＝ｃｏｓ（－ｓｉｎｘ） ＝ｃｏｓ（ｓｉｎｘ） が導けるけれど。 私が不親切だと言ったのは、増減表のみではグラフの形が どうなるかということが見えにくいから。
お礼
御返答有難うございます
補足
>いずれの問題も周期が２π以下であることは明らかなのだから どんな場合でも周期は2π以下と考えていいのですか？ >増減表のみではグラフの形が >どうなるかということが見えにくいから。 周期を調べるだけなら増減表だけから分かるということですか？
- yyssaa
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No.4の補足について でも式にx+πとかx+2πを入れてxの時と同じだったら周期はπや2πだと分かりますよね、 増減表を書く必要はあるんですか？ ＞「式にx+πとかx+2πを入れてxの時と同じ」というのはどうやって調べますか？ 例えば(1)のf(x)=sin(sinx)の場合、f(x+π)=sin{sin(x+π)}です。 この等式はx=0ではf(0)=sin(sin0)=0、f(0+π)=sin{sin(0+π)}=0 となるので、f(x)=f(x+π)が成り立ちます。 しかし、例えばx=π/2のときはf(x)=-f(x+π)となり、f(x)=f(x+π) とはならないので、周期はπではありません。2πだったでしょ？ だから、「x+πとかx+2πを入れてxの時と同じだったら周期はπや2π」 とは決められず、増減の１サイクルを調べる必要があるのです。
お礼
御返答有難うございます
補足
>増減の１サイクルを調べる必要があるのです。 なるほど、では増減表の増減の周期から周期を調べるのですね、でも大体どの範囲で調べてみようみたいな目星はどこでつければ良いのですか？例えば0<=x<2πの範囲で調べて見ようみたいな
- yyssaa
- ベストアンサー率50% (747/1465)
No.2です。 >0(右下矢印)(減少)π/2(右上矢印)(増加)π(右下矢印)(減 >少)3π/2(右上矢印)(増加)2π >となるから、f(x+c)=f(x)を満たすcの最小値はπになる。 一度下がって上がるところを探せばそれが最小の周期の値になるんですか？ ＞一度下がって上がるところではなく、下がり始めるところと次に下がり始める ところを探す。 グラフが同じ形を繰り返す最小の幅が周期だから、上がり始めるところと次に 上がり始めるところでも同じ。 >減少増加にπ(の幅)を要しているから周期がπより小さい ことはあり得ず、f(x+π)=f(x)が成り立つからπが周期と分かる。 これも一度減少して増加して止まるところが最小の周期なのですか？ ＞周期に最小も最大もない。同じ形を繰り返す最小の幅が周期。
お礼
御返答有難うございます
補足
>一度下がって上がるところではなく、下がり始めるところと次>に下がり始める >ところを探す。 分かりました、でも式にx+πとかx+2πを入れてxの時と同じだったら周期はπや2πだと分かりますよね、増減表を書く必要はあるんですか？ >減少増加にπ(の幅)を要しているから周期がπより小さい >ことはあり得ず、f(x+π)=f(x)が成り立つからπが周期と分>かる。 分かりました ＞周期に最小も最大もない。同じ形を繰り返す最小の幅が周期。 分かりました
- gohtraw
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Ｎｏ１です。どこでもいいと思いますよ。繰り返しになりますが 範囲の取り方が適切（１周期をカバーする）であれば。
お礼
御返答有難うございます
補足
>１周期をカバーする これは増減表で一度上がって下がるということですか？
- yyssaa
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(2)はf(x+π)=f(x)であるから周期関数であるが0<=x<=πにおいて ｆ（ｘ）は右のように変化するから周期はπより小さいことはないよって周期はπである とあるのですが、(1)みたいにx+2πで何で考えないのですか？ ＞f(x+2π)=f(x)が成り立つからx+2πで考えてもよい。 0<=x<=2πでf(x)の増減を調べると、 0(右下矢印)(減少)π/2(右上矢印)(増加)π(右下矢印)(減少)3π/2(右上矢印)(増加)2π となるから、f(x+c)=f(x)を満たすcの最小値はπになる。 こちらも0<=x<=πで考える理由を教えてください表を見て何でπが周期と 分かるんですか？ ＞0<=x<=2πで増減を調べるより0<=x<=πで調べた方が手間が省けるから 0<=x<=πで考えている。 表を見ると、減少増加にπ(の幅)を要しているから周期がπより小さい ことはあり得ず、f(x+π)=f(x)が成り立つからπが周期と分かる。
お礼
御返答有難うございます
補足
>0(右下矢印)(減少)π/2(右上矢印)(増加)π(右下矢印)(減 >少)3π/2(右上矢印)(増加)2π >となるから、f(x+c)=f(x)を満たすcの最小値はπになる。 一度下がって上がるところを探せばそれが最小の周期の値になるんですか？ >減少増加にπ(の幅)を要しているから周期がπより小さい ことはあり得ず、f(x+π)=f(x)が成り立つからπが周期と分かる。 これも一度減少して増加して止まるところが最小の周期なのですか？
- gohtraw
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周期性を示すことができればいいので、ｘの取り方は 任意です。その範囲が１周期をカバー出来ていれば。 ただ、（１）だったらｓｉｎｘやｓｉｎ（ｓｉｎｘ）の増減を単純に 記述できる（何度も上がったり下がったりしない）ように 都合のいいところを選んでいるのではないでしょうか。
お礼
御返答有難うございます
補足
では、一度上がって下がる所だったらどこでもいいのですか？
お礼
御返答有難うございます
補足
>ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋π）が常に成り立つことを示す必要が >あります。これはその関数の性質から導くしかない。 これは大体πや2πかなと適当に代入してみるしかないって事ですか？でもたまたま同じになったらいいですが、分からない時もありそうですが、確実に分かる方法ってないですか？ >カッコの中のｓｉｎｘは >周期２πの周期関数なのだから、ｆ（ｘ）の周期性を考える >には最大２πの範囲を見ればいいことになります カッコの中の周期よりもf(x)の周期は同じか小さくなるんですか？ >実際にやってみると >πでもいい（つまりｇ（ｘ）＝ｇ（ｘ＋π）である）ことが>判る。 これは適当にπを代入して同じだと分かったということですか？もっと確実には分からないのですか？ >単に増減が一致していること >を根拠に周期性を判断しているようにも見えて、不親切では >ないかとも感じます。 そうですよね、増減表から周期を判断するものなのですか？ 何か適当な値を代入して同じだったらこれが周期かなとやってましたが、 それより小さい場合もありますし、それを確実に分かる方法が知りたいです >上記のことが言えるのであれば >０＜＝ｘ＜＝２π >であろうが >ーπ／２＜＝ｘ＜＝３π／２ これらは全部幅が2πですね、範囲が2πであれば問題ないんですね、この範囲だと増減が上がって下がるが逆に下がって上がるでも関係ないということですか？