三角関数の合成について

質問

√3cosx - sinx=1 (0≦x≦2π)
の解く方法がわかりません。
答はｘ＝π/6,3π/2

√3cosx-1・sinx=1
三角関数の合成を利用して
2(√3/2 cosx -1/2 sinx)=1
2・sin(x-60)=1
sin(x-60)=1/2
ここで0≦π≦2πより
-60≦x-60≦120

Y=1/2
までしかわかりません。
どのように答に導くかわかりません。
おねがいします。

回答No.7

Masye · ベストアンサー

たびたびすいません。♯１です。
実際に解いて見たらですね、いきなり間違っていました。
初めの３３０°とか　３００°とか言ってたのは絶対違います。　ほんと申し訳ない。
１２０°です。　１２０°が正しいです。
そうすると、あとあとほとんどの数値が変わってきますが、解き方は同じですので、自分でやってみてください。　本当に失礼いたしました。
わからないところがあれば、また補足をよろしくです。

補足

３３０°(－３０°)は違いますね。　３００°(－６０°)が正しいです。　大変失礼いたしました。
そして、－６０°とあるので、それで、統一します。

がよくわかりません。
１２０度のときはどのように表すのですか？
‐１２０度？

回答No.6

Masye

♯１の者です。　長くなったので、前半と後半に分けさせていただきました。

それと、前半で大きなミスがありました。　３３０°(－３０°)は違いますね。　３００°(－６０°)が正しいです。　大変失礼いたしました。
そして、－６０°とあるので、それで、統一します。

前半の合成より、
sin(x-60)=1/2
となります。

ここで0≦ｘ≦３６０°という条件が与えられてるようなので、条件より
-60≦x-60≦３００°
となります。

これから、上の条件をもとにこれを解いて行きます。
sin(x-60)=1/2
このままだと解きにくいので、ｘ－６０°＝Yとおきます。　これは分かりやすくするためだけのものです。
上の条件より、-60≦x-60≦３００°
　　　　　　　-60≦　Y　≦３００°
となります。
そして、
sinY=1/2
となりますね？　
サインが１／２　となるのは、
Y＝－２１０°　３０°　１５０°　３９０°・・・たくさんありますね。
そのなかで、
-60≦　Y　≦３００°
の条件を満たすのは、３０°と、　１５０°　ですね。
Yは自分で勝手に置いたものですから、もとにもどします。　ｘ－６０°＝Y　と置いたので、
　　　ｘ＝Y＋６０°です。
Y＝３０°　と、　１５０°　ですから、
ｘ＝９０°　、　２１０°　となるわけです。
これを、弧度法になおすと、
ｘ＝π／２　７π／６となります。

慣れてきたら、°でなくradを使えるようにしましょう。　暗算でやっているので、もしかしたら前回みたく、数値的にあってないかもしれませんが、解き方はこんな感じです。
実際に紙の上で解くと、すんなり頭に入っていくと思いますよ。　頑張れ！

補足

>３３０°(－３０°)は違いますね。　３００°(－６０°)が正しいです。　大変失礼いたしました。
そして、－６０°とあるので、それで、統一します。

がよくわかりません。
１２０度のときはどのように表すのですか？
‐１２０度？

回答No.5

Masye

♯１の者です。　ちょっと難しく説明してしまったようなので、追加します。　前回のを踏まえた上での説明をします。

まずSinの加法定理です。
SinACosX＋CosASinX=Sin（A＋X）

今回の問題です。
√３／２×CosX－１／２×SinX＝1／２

今回の問題を加法定理にあてはめると、こうなるのはわかりますか？
SinA＝√３／２　CosA＝－１／２角度Aが３３０°

ここで、SinA＝√３／２　CosA＝－１／２　となる三角形を考えます。　
すると、横の長さ√３　縦の長さ－１、絶対値（斜めの線の長さ）２　となる三角形ができるのは分かりますか？　実際にｘ軸ｙ軸を作って紙の上でやってみてください。　
すると、角度３３０°（－３０°でもよい）の三角形ができるのがわかりますか？
実際に　Sin３３０°＝√３／２　Cos３３０°＝－１／２　となるでしょ？

すると、角度Aが、A＝３３０°とわかります。

ここで、いったん元にもどります。

√３／２×CosX－１／２×SinX＝1／２

√３／２　＝Sin３３０°
－１／２＝Cos３３０°
が、分かったので、下の加法定理の式に代入します。

SinACosX＋CosASinX=Sin（A＋X）
すると、

Sin３３０°×CosX＋Cos３３０°×SinX=Sin（３３０°＋X）
となります。

ここまでが、前半戦です。
実際に紙の上で手を動かしてやってみましょう。　どんなに頭のよい数学者達も、紙の上で試行錯誤したわけですから。　

それと、「かける」と、「エックス」の区別がつきにくくなってしまってますが、そこはしっかり見てくれれば分かると思います。
SinとCosのうしろにあるやつがエックスです。

補足

３３０度のとき
SinA＝√３／２　CosA＝－１／２　が言えるそうですが

330どのとき
sin=-1/2
cos=√3/2ではないですか？

もし間違っていたらすいません

回答No.4

eatern27

＞Ｙもなにに必要なのかよくわかりませんので。
のYって、
＞Y=1/2
＞までしかわかりません。

＞cosY=a/√(a^2+b^2),sinY=b/√(a^2+b^2)となるようにYを定めれば、
どっちのYですか？

＞もしよろしければその後も教えていただけませんか？
基本的には#2さんのご回答を見てください。分からない点があれば、どの部分が分からないのか補足してください。

分からない点がある場合、
sinθ＝1/2
の方程式を解けるかどうかもあわせて書いてください。

回答No.3

eatern27

＞まず330度はどうやってでてきたの？
330°じゃないですね。120°です。120°だったら納得ですか？
ちなみに、弧度法では2π/3です。

＞πは180度ということはわかるのですが難しく感じでπを使わない方法でおしえてくれませんか？
"°"っていう単位を使うより、弧度法を使った方が便利なので、弧度法を習ったのなら、その後はあまり、"°"という単位で角度を表すことはありません。弧度法に慣れるためにも、πを使って考えましょう。(どうしても、というのなら、補足をください)

πが180°、π/2が90°、π/3が60°、π/4が45°、π/6が60°
というのを覚えれば、十分です。

＞三角合成を覚えたのは初心なのでもうすこし丁寧におしえていただけませんか？

asinX+bsiny
＝√(a^2+b^2){a/√(a^2+b^2)sinX+b/√(a^2+b^2)cosX}
という変形は問題ないでしょう。
ここで、cosY=a/√(a^2+b^2),sinY=b/√(a^2+b^2)となるようにYを定めれば、これは、
√(a^2+b^2){cosYsinX+sinYcosX}
となります。さらに加法定理を使えば、
√(a^2+b^2)sin(X+Y)と変形できますね。

教科書などでは、
asinX+bsiny＝√(a^2+b^2)sin(X+Y)
ただし、sinY=・・・,cosY=・・・
などと書かれているので、難しく見えますが、
asinX+bsinyをいきなり、√(a^2+b^2)sin(X+Y)に変形しようとするから、難しいのです。上に書いたような順番で考えていきましょう(私も上に書いた順番で考えています)

√3cosx-1・sinx=1
について上に書いた通りにやると、
2(√3/2 cosx -1/2 sinx)=1
2(sin(2π/3)cosx+cos(2π/3)sinx)=1
2sin(x+2π/3)=1
と変形できます。
この後は、三角関数の合成とは関係ないので、大丈夫だと思っていいんですか？

補足

もしよろしければその後も教えていただけませんか？
実は範囲の出し方とかよくわからないので。

Ｙもなにに必要なのかよくわかりませんので。
人通りおしえてください

回答No.2

hitomura

ズバリ、角度の単位として°を使うのをやめましょう。
問題文では角度の単位としてラジアンを使っているので、答もラジアンを使ってあらわすことを出題者は望んでいます。

と、いうわけで、
＞√3cosx-1・sinx=1
＞三角関数の合成を利用して
＞2(√3/2 cosx -1/2 sinx)=1
以降をラジアンで書くと、…って、合成が単位が度だとしても間違っているのでこれも修正します。
cosθ=-1/2, sinθ=√3/2を満たすθはθ=2/3π±2nπなので、代表として2/3πを利用すると、
2・sin(x+2/3π)=1
sin(x+2/3π)=1/2
sinθの値が1/2となるのはθ=1/6π±2nπ,θ=5/6π±2nπ
のときなので、
x+2/3π=1/6π±2nπ、0≦x≦2π
および
x+2/3π=5/6π±2nπ、0≦x≦2π
を満たすxを求めれば答となります。

補足

πは180度ということはわかるのですが難しく感じでπを使わない方法でおしえてくれませんか？

まだ、三角合成を覚えたのは初心なのでもうすこし丁寧におしえていただけませんか？
よくわかりません。
おねがいします。

回答No.1

Masye

三角合成でつまずく人は大変多いです。　実際に私も高校で習ったばっかの時はさっぱりでした。　でも実際はそんなにムツカシクないです。
まず初めに、加法定理を思い出してください。　これがわからないと三角関数はなにもできないので、知っててくれ。
SinACosX＋CosASinX=Sin（A＋X）
この公式と三角合成には非常に深い関係があります。
√３／２CosX－１／２SinX＝1／２

加法定理の式と合成の式を見比べてください。
SinA＝√３／２　CosA＝－１／２　となるのが分かるでしょうか？
そうすると、SinA＝√３／２　CosA＝－１／２　となるような三角形を考えます。　すると、角度Aが３３０°となるのがわかるはずです。
ですから、加法定理の公式を使って、Sin（330°＋X）となるのです。
そうすれば、あとは簡単に解けるはず。　補足説明が欲しいならば、どこがわからんとかを教えておくれ。
ではがんばって！

補足

教えてくれるのはありがとう。
でも、よくわかりません。
まず330度はどうやってでてきたの？