確率の問題

質問

４桁の数字（「００００～９９９９」の中の１つ）と３桁の数字（「０００～９９９」の中の１つ）があります。

４桁の数字の中に入っている数字のうちの少なくとも１つ以上が３桁の数字の中にも入っている確率はいくつでしょうか？
（４桁の数字がＡＢＣＤだとしたら、３桁の数字のどこかにＡ・Ｂ・Ｃ・Ｄのどれかが入る確率）

どう考えてもよくわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#107596 · ベストアンサー

4桁の数字と3桁の数字を組にしたとき、
4桁の数の中の数字が一つも3桁の数字に入っていない確率を求め、
1から引くのがいいのではないでしょうか。

3桁の数字は、数字や順番を考えないと
(1)AAA、(2)AAB、(3)ABC
の3通り。
4桁の数字と3桁の数字の組は、全部で10000×1000通り。
よって　1-((1)＋(2)＋(3))/(10000×1000)

例として(2)の場合
３桁の数字は、ABがどの数字にあたるか→0～9まであるので10×9通り
　　　　　　　AABがどういう順か→3通り
4桁の数字は3桁の数字に使っている2つの数字を使ってはいけないので
　　　　　　　8×8×8×8通り
結果（10×9×3）×（8×8×8×8）通り

(1)、(3)も同様の考え((3)は重複してしまいやすい)。

間違えていたらすみません。

お礼

(2)の場合の
「結果（10×9×3）×（8×8×8×8）通り」
については、紙に書き出してみたら、よく理解できました。

(3)の場合の計算方法は、やはり私が間違っていました。

1 - { ((1)＋(2)＋(3))/(10000×1000) }
＝　1 - { ( 65,610 + 1,105,920 + 1,728,720 ) / 10,000,000 }
＝　1 - ( 2,900,250 / 10,000,000 )
＝　7,099,750 / 10,000,000
でＯＫですよね？

わかりやすい説明、ありがとうございました。

補足

(1)の場合
３桁の数字は、Aがどの数字にあたるか→0～9まであるので10通り
　　　　　　　AAAがどういう順か→1通り
4桁の数字は3桁の数字に使っている数字を使ってはいけないので
　　　　　　　9×9×9×9通り
結果（10×1×1）×（9×9×9×9）通り　　＝　 65,610通り

(2)の場合
結果（10×9×3）×（8×8×8×8）通り　　＝　1,105,920通り

(3)の場合
３桁の数字は、ABCがどの数字にあたるか→0～9まであるので10×9×8通り
　　　　　　　ABCがどういう順か→3×2×1通り
4桁の数字は3桁の数字に使っている数字を使ってはいけないので
　　　　　　　7×7×7×7通り
結果（10×9×8×3×2×1）×（7×7×7×7）通り　＝ 10,372,320通り

よって　1-((1)＋(2)＋(3))/(10000×1000)
＝　1 - { ( 65,610 + 1,105,920 + 10,372,320 ) / 10,000,000 }
＝　1 - 1.154385
＝　- 0.154385　？？

計算結果が「マイナス」になってしまいました。

「(3)の場合」の計算方法が間違っているのでしょうか？
分母が10,000,000通りしかないはずなのに分子が10,372,320通りとなってしまい、この部分だけで分母を超えてしまっています。

回答No.5

Quattro99

x^nはxのn乗の意味なので（テキスト表示だけの掲示板では指数を表示することが出来ないので「^」を用いることが多い」、9^3は9*9*9のことであっています（*は、かけ算の記号×と同じ意味）。

4桁の数を考えるとき、1種類しか使っていない場合なら、「10種類の数字から1種類を選ぶ選び方」*1*1*1*1通りの数がありますが（1*1*1*1は4桁目が1通り、3桁目が1通り、2桁目が1通り、1桁目が1通りということです）、2種類が使われている場合に、「10種類の数字から2種類を選ぶ選び方」*2*2*2*2通りとしてしまうと（2*2*2*2は4桁目が2通り……）、4桁とも同じ数字である場合も数えてしまうので、それを除く必要があるということです。

お礼

たびたびのご回答ありがとうございました。

回答No.4

haberi

＃２のかたの補足にある、
結果（10×9×8×3×2×1）×（7×7×7×7）通り　＝ 10,372,320通り
が間違っていますよ。3桁の数字の方が多すぎます。
これだとA,B,CをえらんでABCの順に並べたものと、B,A,Cを選んで
ABCと並べたものが重複します。
ですから
（10×9×8）×（7×7×7×7）通り　＝ 1,728,720通り
になるとおもいます。

お礼

＃２のかたの補足部分についてですが、ご指摘の通りです。
(3)の場合の計算方法は、やはり私が間違っていました。

1 - { ((1)＋(2)＋(3))/(10000×1000) }
＝　1 - { ( 65,610 + 1,105,920 + 1,728,720 ) / 10,000,000 }
＝　1 - ( 2,900,250 / 10,000,000 )
＝　7,099,750 / 10,000,000
でＯＫですよね？

わかりやすい説明、ありがとうございました。

回答No.3

Quattro99

4桁の数に使われる数字の種類数によって場合分けして考えればよいのではないでしょうか。

4桁の数が1種類の数字しか使われていない確率は10/1000=1/100。このとき、3桁の数にその数字が使われていない確率は1/(9^3)なので使われている確率は1-{1/(9^3)}。よって、4桁の数に1種類の数字しか使われておらず、その数字が3桁の数に含まれている確率は(1/100)*[1-{1/(9^3)}]。

以下、4桁の数に2種類の数字が使われている場合、3種類が使われている場合、4種類使われている場合をそれぞれ計算して合計すればよいと思います。
4桁の数の方を考えるときに、例えば2種類の数字が使われている場合を考えるときに1種類しか使っていない場合を除かねばならないので注意が必要です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

補足

＞4桁の数に1種類の数字しか使われておらず、その数字が3桁の数に含まれている確率は(1/100)*[1-{1/(9^3)}]。

(1/100)*[1-{1/(9^3)}]　の部分は(1/100)*[1-{1/(9×9×9)}]
という意味でよいでしょうか。

＞4桁の数の方を考えるときに、例えば2種類の数字が使われている場合を考えるときに1種類しか使っていない場合を除かねばならないので注意が必要です。

意味がよく理解できないので、もう少しわかりやすく教えていただければ幸いです。

回答No.1

haberi

場合わけが必要だと思います。
(1)4桁の数字が全部違う
(2)4桁の数字に3種類の数字
(3)4桁の数字に2種類の数字が二つづつ
(4)4桁の数字に2種類の数字が三つと一つ
(5)4桁すべて同じ数字
で3桁の方も同じように場合わけ（3通り）し、それぞれ（3X5=15通り）
を計算する。
かなりめんどくさいですけど。

お礼

ご回答ありがとうございます。