確率の問題

質問

確率の求め方について質問です

それぞれA,B,C,Dと記載されている独立した玉があります
これを箱の中に入れて一回ずつ取り出して出た文字をメモして玉を戻す作業をn回繰り返します
このとき、すべての文字が一回以上ずつ出現する確率の求め方を教えてください

回答No.1

yyssaa

A,B,C,Dをn個並べる並べ方
:4^n通り・・・・・・(ア)
A,B,C,Dのうちの1文字のn個の並べ方
:4C1通り・・・(イ)
A,B,C,Dのうちの2文字のn個の並べ方
:4C2(2^n-2C1)通り・・・(ウ)
A,B,C,Dのうちの3文字のn個の並べ方
:4C3{3^n-3C2(2^n-2C1)-3C1}通り・・・(エ)
従ってA,B,C,Dの全てが含まれる並べ方
:(ア)-(イ)-(ウ)-(エ)=4^n-4-6(2^n-2)-4{3^n-3(2^n-2)-3}
=4^n-4*3^n+6*2^n-4
求める確率=(4^n-4*3^n+6*2^n-4)/4^n
=1-(4*3^n-6*2^n+4)/4^n=1-4(3/4)^n+6*4^(-n/2)-4^(1-n)・・・答え