Ａさんは4人きょうだいのうちの一人です。Ａさんが第一子の確率は？

質問

普通に1/4だと思ったのですが違う方法で計算するとおかしなことに・・・

一体どこが間違っているのでしょうか？

(考え方１)
四人をそれぞれABCDとする。
ABCDの生まれてくる順番の総数は24通りあってそれらは同様に確からしい。
そのうちAが最初に来るのは６通りなので求める確率は1/4。

(考え方２)
四人をそれぞれABCDとする。
BがAより年下である確率は1/2。CとDについても同様なので求める確率は(1/2)^3=1/8 (???)

バカな質問で申し訳ないです。

回答No.4

sanori · ベストアンサー

こんばんは。
答えは４分の１で間違いありません。

ＢがＡより年下である確率は、たしかに１２／２４＝１／２です。
しかし、
ＢがＡより年下であるとすれば、ＣはＡより年上である可能性が高くなります。
（つまり、独立事象ではない）

ＢがＡより年下ということは、
ＡＢ？？
Ａ？Ｂ？
Ａ？？Ｂ
？ＡＢ？
？Ａ？Ｂ
？？ＡＢ
という６パターンがあり、？（Ｃが入れる場所）は２箇所ずつ、つまり、１２箇所あります。
しかし、Ｃが入れる場所は実際には、
ＡＢ？？　２箇所
Ａ？Ｂ？　２箇所
Ａ？？Ｂ　２箇所
？ＡＢ？　１箇所
？Ａ？Ｂ　１箇所
？？ＡＢ　０箇所
つまり、１２箇所のうちＣが入れるのは８箇所しかありません。
よって、
この段階で、ＢもＣもＡより年下である確率は、
１２／２４×１２／２４
ではなく、
１２／２４×８／１２　＝　１／３
です。

さらに、（説明は省きますが）
ＢもＣもＤもＡより年下である確率は、
１／３×３／４　＝　１／４
となります。

回答No.6

yaemon_2006

ANo.4と同じことだが、質問者の考え方に出来るだけ沿って考えてみた。

aとbの並び方は、
(1) aがbより後
(2) aがbより前
の2通り、
この内、aが年上なのは(2)の場合。
よって、確率は 1 / 2。

bが年下のとき、
a、b、cの並び方は、
(1) cがaより前
(2) cがaとbの間
(3) cがbより後
の3通り、
この内、aが年上なのは(2)(3)の場合。
よって、確率は、(1 / 2) * (2 / 3) == 1 / 3

b、cが年下のとき、
a、b、c、dの並び方は、
(1) dがaより前
(2) dがaとb、cの間
(3) dがbとcの間
(4) dがb、cの後
の4通り、
この内、aが年上なのは、(2)(3)(4)の場合。
よって、確率は、(1 / 3) * (3 / 4) == 1 / 4

回答No.5

pontiac_gp

>確かにそこの独立性が怪しいとは思ったのですが、
>それらが独立であるかどうかを確かめるにはどうすればいいのでしょうか？

年齢を不等号であらわすとして、A≧BとA≧Cが独立かどうかは、
P(A≧C) = P(A≧C | A≧B) が成り立つかどうかで決まります。
（右辺は「A≧BのときにA≧Cである確率）

言い換えれば、
「前提がないときのA≧Cの確率（=1/2）」と
「A≧Bという前提があるときにA≧Cになる確率」が等しくないならば
A≧Cの成否がA≧Bの成否にに影響を受けるということ
つまり独立でない（従属している）ということです。

（考え方1）の24通りのうちA≧Bとなる12通りを書き出してみて
そのうちA≧Cとなる場合が半分の6通りでなく8通りあることを確かめましょう。
それでわかると思います。

ただし、これくらいは直感的にわかるべきです。
A≧Cとなるケースを考えたとき、前提がない場合Aが第3子でもいいわけですが、
A≧Bという前提がつくとAは第1子か第2子になる、
つまり感覚的には「上へのバイアス」がかかったような状態になるので、
自ずとCより上に行く確率も「前提なし」より上がりそうな気がしませんか。

回答No.3

koko_u_

>それらが独立であるかどうかを確かめるにはどうすればいいのでしょうか？
「独立」の定義を満たしているかを確かめるだけです。

回答No.2

okormazd

ここで、なんで1/2を掛けるんだ？
お互い関係のない確立を掛けてどうしたいんだ。

回答No.1

koko_u_

>BがAより年下である確率は1/2
そうですね。

>CとDについても同様なので求める確率は(1/2)^3
これは「B が A より年下」「C が A より年下」「D が A より年下」
の各々の事象が独立である場合にしか、かけ算はできません。

お礼

ありがとうございます。

補足

確かにそこの独立性が怪しいとは思ったのですが、

それらが独立であるかどうかを確かめるにはどうすればいいのでしょうか？