＜難問：数学＞ 確率の問題

質問

以下の確率の問題を解ける方いらっしゃいますでしょうか？
かなり考えましたが分かりません。
困っているので教えていただけると助かります。

［問］ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

A,B,Cの箱にはそれぞれ
μ＝1,σ＝0.15、μ＝1,σ＝0.1、μ＝1,σ＝0.01の正規分布に従う数字が入っている。
A,B,Cから数字を無作為に引き、掛け合わせるとき以下の問いに答えよ。

(1)A×B×C≦1.2となる確率を求めよ。
(2)A×B×C≦x, 99.9%の確率になるxを求めよ。

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回答No.2

stomachman

ANo.1へのコメントについてです。

> 正の数の場合は、近似しなくても答えは出ますでしょうか？

「数字」では全く意味をなさないので、ANo.1では「数字」を「数」と読み替えた上で回答しています。

　コンピュータのプログラムを書いて数値計算を行うことで答は出ます。（数値計算をするためには、何らか近似が必要です。）
　しかし、ANo.1に書いた（ちょっと荒っぽい）近似を使うと、xyzはANo.1の最後に書いてある通り、平均1、標準偏差sの正規分布に従う。なので、プログラムを書くところまでやらなくたって、標準正規分布表（あるいはExcelのような表計算ソフトの関数）を使えば、具体的なコタエが計算できる訳です。

　さて、ご質問の[問]は、正規分布について理解している人に対する出題であることは明らかです。そして、理解していれば上記の計算は簡単に出来る筈。だから、もし具体的なコタエの数値をどうやって計算すればいいのか分からないと仰るのであれば、それは、この[問]に取りかかる前に、（標準正規分布表の使い方などを）もうちょっと勉強しなくちゃいけない、ということを意味しています。

回答No.1

stomachman

「箱」だなんてタトエ話や「数字」なんてオカシイ用語が出てくる。（数字ってのは「0」～「9」の10個の文字のどれかのことであって、数じゃないんだから正規分布に従ったりできません。）しかし数値が具体的に書き込んであるんで質問者氏自作の問題のようにも見えない。どうもヘンな問題です。一体どういう文脈（状況・目的）で出題された問題なんでしょうか。というのは：

　平均μ[i]標準偏差σ[i]の正規分布の確率密度関数をφ[i](t) (i=1,2,3)とすると、それぞれの分布に従う確率変数x, y, zが互いに独立であるとき、それらの積が定数c以下になる確率P(c)とは、定積分
　　P(c) = ∫∫∫{xyz≦c}φ[1](x)φ[2](y)φ[3](z) dx dy dz
ですけど、初等的には計算できないんじゃないかな。

　となると、これはマトモにやるんではなしに、問題に書いてある「1.2」と「99.9%」をそれぞれ「約1.2」「約99.9%」と読み替えて、近似計算をやれという話なのかも。
　たとえば、どの確率変数もμ=1でσが比較的小さい。負の値になる確率は極めて小さいですから、正の場合だけを考えて自然対数を取り、さらに
　　p = ln(x) ≒ x-1
　　q = ln(y) ≒ y-1
　　r = ln(z) ≒ z-1
という近似で済ませれば、「独立な確率変数p,q,rがそれぞれ平均0、標準偏差σ[i]の正規分布(i=1,2,3)に従うときの、これらの和p+q+r」を考えると、その和はもちろん、平均0、標準偏差s
　　s = √(σ[1]^2 + σ[2]^2 + σ[3]^2)
の正規分布に従うから、
　　xyz = exp(p+q+r) ≒ (p+q+r)+1
は平均1、標準偏差s の正規分布で近似できるでしょう。

　いや案外、数値計算しろということなのかも。

補足

ご回答頂き有り難う御座います。
回答者さまのご指摘どおり、「数字」ではなく、「正の数」だったと思います。
思い出しながらの記入でしたので誤りがありました。。申し訳ございません。

正の数の場合は、近似しなくても答えは出ますでしょうか？
また、近似すれば答えは出ますか？
もし、よろしければ教えて下さい。