ベクトルの問題がわかりません。

質問

見ていただきありがとうございます。
問題はこちらです、
3点A（1,0,0）　B(4,1,1)　C(2,1,3)を含む平面に垂直な単位ベクトルは

　　　　　 　　 (○○)
±1/√○○ (○○)である。
　　　　　　　　（ 1　)
/は分数の線を表わし、√の後の数字は中に入ってるとし、()は分かれているのではなくて行列として表します。

という問題なんですが、解き方がわかりません。
答えは持ってます。

解き方がわかる方がいましたら教えてください。

回答No.2

noname#86294 · ベストアンサー

A（1,0,0）　B(4,1,1)　C(2,1,3)

点Aを起点とするベクトルAB、ACは、
AB(4-1,1-0,1-0)=AB(3,1,1)、AC(2-1,1-0,3-0)=AC(1,1,3)

このベクトルのなす平面に直交する法線ベクトルは、これらの外積
で表わされるので、
AB×AC= 「i　　ｊ　　k　 　＝i・2+j・(-8)+k・2　
　　　　　　　3　　1　　1
　　　　　　　1　　1　　3」
（ただし、i、j、kは、x、y、z方向の単位ベクトル）
　　　---------------------------------------------------------
　　｜ここに示したのは、原点を中心にABからACの方に回転する場合に ｜
　　｜右手系を採用した場合に向く方向を正としましたが、向きには拘わる｜
　　｜必要がないようなので、最後に‘±’をつけることにします。 　　
　---------------------------------------------------------

つまり、（2）
　　　　 （-8）
　　　　 （2)
なので、このベクトルの大きさ、√{2^2+(-8)^2+2^2}=√72=6√2　で割って
{1/(3√2)}
{-4/(3√2)}
{1/(3√2)}

z方向の成分を 1 とした場合の答えが求められているので、全体を (3√2)倍、
つまり、（要求されている形の答えとなるように） √18倍すると、
（1）
(-4)
（1）

従って、答えは、

　　　　　 　 (+1)
±1/√18 (-4)　　　となります。
　　　　　　 （+1)

回答No.1

Mr_Holland

3点A（1,0,0）　B(4,1,1)　C(2,1,3)を含む平面に垂直な単位ベクトル　をベクトルｎ＝（ｘ、ｙ、ｚ）とします。
　このとき、次の条件が成り立つように、ｘ、ｙ、ｚの値を決めます。

　　→ＡＢ・→ｎ＝０　かつ　→ＡＣ・→ｎ＝０　かつ　|→ｎ|＝１

　具体的な計算は次の通りです。

　　→ＡＢ・→ｎ＝3x+y+z＝０　・・・（１）
　　→ＡＣ・→ｎ＝x+y+3z＝０　・・・（２）
　　|→ｎ|＝√(x^2+y^2+z^2)＝１　・・・（３）

　式（１）－式（２）から
　　2x-2z＝０　∴ｚ＝ｘ
　これを式（１）に代入して
　　∴　ｙ＝－４ｘ
となりますので、ｘを使ってベクトルｎや次のように表されます。

　　→ｎ＝ｘ（１，－４，１）

　このベクトルの大きさを求めますと、式（３）から
　　|→ｎ|＝√18 |x|＝１
　∴ｘ＝±１／√１８　（　＝±１／（３√２）　）
となりますので、改めてベクトルｎを表しますと、次のようになります。

　　→ｎ＝±１／√１８　（＋１，－４，１）