有限と無限の違いは何なのでしょうか

質問

問題となっている対象が有限か無限かを見分ける共通の方法などがあるのでしょうか。あるいは有限と無限の関係などを数学的に示す理論などはあるのでしょうか。あるいは質問自身が成り立たないのかもしれませんが、よろしくご教示いただければと思います。

回答No.1

jamf0421 · ベストアンサー

数学はまったく素人ですが、一応一つの見解として部分が全体に一致（あるいは１：１対応）すれば無限といえると思います。たとえば偶数は整数の一部として含まれるものですが、整数と偶数は１：１に対応付けることができます。1, 2, 3,...にたいして2, 4, 6,...です。負の数まで考えるなら1, -1, 2, -2, ...などとやればよいです。自然数全体と有理数全体を対応づけることもできます。横に1, 2, 3, ...と書き、分子とし、縦にも1, 2, 3, ...と書いて分母と決めます。分子分母の組は縦横のクロスしたところで横が５、縦が７の座標にあたるところが分数5/7になります。これを順序づけられれば、自然数と有理数が対応するのですが縦と横の組(n,m)に対して(1,1), (1,2), (2,1),(3,1),(2,2), (1,3),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)...という順に数え上げていくことができますので自然数と対応できます。
また、半直線の端A点の上に1 cmの線分を垂直に立て先端をBとします。この線分の先端Bから半直線に平行に反対向きに1 cmの線分を書き先端をCとします。Cと半直線の中の任意の点Xを結ぶと線分ABの中の１点Yに対応しますが、XのどこをとってもYは存在しかつ対応は１：１になります。半直線という無限の長さの中の各点が1 cmの線分の中の各点とが対応しているので部分が全体に一致しています。

お礼

部分と全体の関係を改めて勉強させていただきたいと思います。どうもありがとうございました。

回答No.2

arrysthmia

無限集合の数学的な定義は、No.1 の方が書いておられる通りです。

直感的で実用的(だが、万能ではない)判定法としては、
対象を数えてみればよいでしょう。

「数える」とは、対象の集合を S、自然数全体の集合を N として、
N から S への単射を挙げて見せることを言います。
その際、N から S の上または中への単射が見つかれば、S は無限。
N の有限部分集合 n から S への全単射が見つかれば、S は有限で、
その個数は n です。
適当な全単射が見つからなければ、それまでですが。

ここでは、可算無限が最小の無限濃度であることを使いました。

お礼

ご教示を基に勉強させていただきます。どうも有り難うございました。