数字の桁数が無限個ある集合

質問

数学は詳しくないので質問させてください。

数字の桁数が無限個ある数字と、桁数が有限個しかない数字の集合に分けると

有限個の数字の集合は、無限個の数字の集合の部分集合、といえるんでしょうか？

数学の結論はどうなっているのか教えてください。
よろしくお願いします。

といっても、質問の定義が甘い気もしますが、それはまた教えてください。

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

皆さん触れるのが嫌で、
変化球で回答しているようだけれど、
これは、いつもの 1=0.9999… 問題なんでしょう。
たぶん。

数として比べるのか、数字の並びとして比べるのか、
無限桁の末尾は 0000… でもよいのかどうか、
などの「定義が甘い」点は、捨て置くとして、
小数表示された実数の集合の包含関係を考えるなら、
末尾が 9999… の無限小数は、
9999… 部分を切り上げた有限小数と、
実数としては同じものですから、
有限桁の数の集合は、無限桁の数の集合に
含まれます。

さあ、栗は拾いましたよ！

お礼

火中のくりをどうぞ～！

ということで、お返事ありがとうございます。
そんな難しい意味はなかったんですが、
もともとの質問は、ＮＯ３さんにお返事で書いたとおり、
哲学的なイメージから来た質問でした。
でもうまくいえなくて・・・

しかし定義の甘さが、こんなにあるとは、たくさんありますねー。
＞小数表示された実数の集合
そっか、こう書けばよかったんですね！　なるほどー。

ということは、数字は、無限桁の数が、有限桁の数より基本的、といってもいいんでしょうか？

またややこしいこといってますが。

あれ、でもそうなると、無限桁の数字って、ん～～僕は無限桁の数字は、すべての数字、みたいなつもりだったんですが、これはいったい・・虚数は入らないし・・・

これはまた別の質問になりますね～。ばたん

回答No.3

Tacosan

えぇと, 確かに定義は甘いですね.
・「桁数」というのは小数点より上のことか下のことか
・表記法をどうするか
という質問が考えられます.
とはいえ基本的には単純で, 「有限桁の数の集合」は「無限桁の数の集合」の部分集合となります. なぜなら「有限桁」というのは「そのあとに無限に 0 が続いている」とみなせるからです.
なお, 「小数点より上が無限桁」の数については「p進数」という考え方があります.

お礼

ごめんなさい、
ＮＯ２の方にも書いたのですが、
桁は小数点以下の話です。
表記は、１０進法です？　。

ということで、
＞「有限桁の数の集合」は「無限桁の数の集合」の部分集合
おお！　そうですか？　あってました？？　よ、よかったー。

ビジョンとしては、有限の桁の数字は、無限の桁の数字の極限で決められるんじゃないか？　というイメージでした。

もっと言うと、無限のほうこそが普通であって、有限って、無限の極限？
あるいは、無限の例外なんじゃないかな？　と感じたので、
でもこのままだと、哲学的なので、

数学ではどうなのかなと思って、でも数学の事としてうまく表現できなかったので、
下手な質問になりまいた。ごめんなさい！

回答No.2

sanori

こんにちは。

まず、
「無限個ある数字」、「有限個しかない数字」ではなく、
「無限個ある数」、「有限個しかない数」ですね。

「桁数」は、上側の桁数なのか、小数点以下の桁数なのか不明ですが・・・

＞＞＞有限個の数字の集合は、無限個の数字の集合の部分集合、といえるんでしょうか？

言えません。
「桁数が無限個ある数」と「桁数が有限個しかない数」とに分けているのですから。

＞＞＞といっても、質問の定義が甘い気もしますが、それはまた教えてください。

「桁数が無限個ある数」は「数」の部分集合
「桁数が有限個しかない数」も「数」の部分集合
です。

なお、
「桁数が無限個ある数」のうち、小数点以下が無限の数は、現実の数ですが、
上の桁が無限の数は、lim（極限）で表される形而上の数になるかと思います。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

こんにちは！

＞「桁数が無限個ある数」と「桁数が有限個しかない数」とに分けているのですから。
・・・　ごもっともです。　全く妙な日本語を書きました・・

＞「桁数が無限個ある数」は「数」の部分集合
「桁数が有限個しかない数」も「数」の部分集合

こちらのほうが質問の意味に確かに近いです。

やっぱり質問があまあまでした。

お聞きしたかったのは、ＮＯ１の方のいわれてるみたいに
イメージとしては、０．９９９・・・＝１なら、
桁が有限の数字は、桁が無限の数字に含まれるんじゃないかなーと思っての質問です。

でも、少数点より左側は想定していませんでした。

ん～～～、とりあえずこういう意味の質問ということでご勘弁を！

回答No.1

nrb

その通りですね

一番判りやすいのが

１＝１／３＋１／３＋１／３

０．３３３３３３・・・・・・・・・・・・・
を３回足すと　１ですね

お礼

なるほどです！
　ありがとうございました！