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０は有限ですか？
こんばんは。 なんかこういうこと書いた本はきっとあると思うんですが、 そんなのも教えてもらいたくて質問させてください。 ただ残念ながら僕の理解程度は高校数学程度なので、易しい説明を探してます。でも、本でもネットでも、なかなかそれはありません。 ０．９９９・・・＝１，等の証明を見てて、思ったんですが、 0は数字でしょうか？ あるいは、0は、有限ですか？ もし、0が有限でないなら、0と無限は、有限でない物として、 同じカテゴリーに入りませんか？ もしそうなら、0は、ある極限として、無限と同じように定義されてるのでしょうか？ 自分の直観を、ズーと追跡してたんですが、どうもこの辺りで、訳が分からなくなります。 もし0が、実体のある数字なら、無限に小さいという極限と、有限の数字が同じ物、ということになり・・・。無限＝有限？ みたいな？ というよりそもそも何を聞きたいのか自分でピントが合ってないのですが、なんか上のようなことを書いてある物はあるでしょうか？ 無限小の定義や、何とか解析やら、見るのは見たのですが、・・・、ということで、学力の範囲を出ました。 といって自力で考えた範囲では、上のところが関の山、となっています。 とっても素人向けに、この辺りのを優し～く教えて欲しい、あるいは、優しい参考文献があれば教えて欲しいです。 あるいは背伸びすれば、大学一年で習うくらいの数学は理解できるかもしれないので、その範囲くらいまでで何かあれば・・ ちなみにブルーバックスの、無限関係の本はいくつか読んだのですが、ん～～、上の話に直接関係ある内容ではなかったです。 超準解析？ わかりません。これは死ぬまで理解できない気がしますが もしかしてもしかして、何とか解析、とやらを理解できないと、本当のところはわかりませんか？ ウィキペディアの上の説明のページを読んでたらえげつなく難しいのですが、はしょって結論だけ聞きたいというのはだめでしょうか？ 疑問はとてもシンプルなんですが・・・ ０．９９９・・・＝１、もそうですが、この手の話は論理的に証明というよりは、自分の直観を満足させられるか？ の問題のような気もしますが、わかりません。 この式の場合なら、極限＝一つの有限な数字、という等式ですし、この主張は、僕は直感的には理解できないですねー。困った・・ 何というか、０と、極限のイメージが、ごちゃごちゃになってる気もするのですが、どちらかというと、０の概念を中心に、イメージを組み立てたく考えてたのですが・・・orz
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確かにゼロの発見は遅く、自然数とは異質なものです。 最初の定義では、ゼロとは「器だけ」の状態を表します。 容器や置き場所を意識して初めて、「何もない」ということが理解できるということです。 例えば、１２０という数は、縦横１０個のタイルが合体した大きなタイルが１枚と、縦に１０個のタイルが合体した長いタイルが１本と、そして、本来小さいタイルが置かれるべき場所に何もない状態、をあらわします。 (位取り記数法) これが「量」としてのゼロで、ここから、原点を示す「位置」としてのゼロが生まれ、様々に定義を拡大させてきたと思います。
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私が読んだ数学の本に 「＋∞（無限大）は非常に大きい数ではないことに 注意しなければならない。」 と書いてありました。よくわからない表現なのですが 「大きい」とか「小さい」とかは「有限数」でのことなので それとは違うと言うことを言いたいみたいなのです。 実際、一兆円は１００円より大金です。 しかし、「より大きい」「より小さい」とかは 暗黙のうちに有限数のせかいで、表現しているのです。 ＋∞（無限大）はそれとは違うので、注意しなければならない と、著者は言ってるのです。 無限大の公理 ∞＋∞＝∞ 有限の世界ではあきらかに「２∞」なのですが そうはなりません。 アレフ０（可付番無限集合）とアレフ１（連続体の濃度） とがあって等しくありません。 カントール集合はルベーグ測度が０ を最近知りました。 １ｍｘ１ｍの土地があったとします。 真ん中１/3を削除します。左右に１/3と１/３の 土地が残ります。 また、その残った土地の真ん中の１/3を削除します。 この操作を無限回くりかえすと、ついには土地（面積は） は０になると言うのがこの定理です。 ２/３残るので0にはなりそうにないのだが、とにかく 無限回この操作をすると０になります。 不思議です。
お礼
こんばんは。 お返事ありがとうございます ！ 乱文ですがお許しください 前半おっしゃることとても良く分かります。僕は素人向けの本で読んだだけですが、あとネットの記事を読んだだけですが、 数式抜きなら、何とかわかり得る、という程度です。 ご回答の中の最後の文、無限を繰り返すと、０になる、というのが実にやはり不思議です。 もし無限回ーというのが決まった数であるなら、（無限大、が非常に大きい数である、とすると） 無限回の操作の後、最後には、０になります。 でも、無限大は、現実には、大きな数ではない、ということなので、 それは、終わりがない、という意味なので、有限回の内には、終わらない、だから、有限回の操作の中では、決して０にならない、といえないでしょうか? この定義の範囲内で考えると、０は、無限操作の向こうにある、一つの極限であり、数字ではない、 ともいえる気もしますが。だめなんでしょうか？？ 全くこの定義の範囲に限って言えば、 ０は有限ではない＝現実の数ではない、というのは、間違いでしょうか?? よく分からないのですが・・・
- jmh
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> ０．９９９・・・＝１の証明は、僕も初心者向けの本でいくつか > 読みましたし、論理的には十分納得しています。 > なので、左辺も、たぶん知識としては知っている、と思います。 > あるいは、定義の問題としてなら、自分でも分かってるかなーと > 思います。 > そうですか。この等式は、lim 0.999…9（ｎ個の９）＝１（ｎ→＋∞）の省略形で、それは「ｎを大きくすれば、いくらでも１に近くできる」ということを表しています。０、小数点、無限個の９を並べて書いたモノと１が等しいのではないです。無限個の９を書くことはできません。無限を想像するときにも、実際には「いくらでも」と考えていると思いますが、いかがでしょうか？
補足
こんばんは！ おっしゃることはめっちゃ分かります。 僕も最近これは気付くまでず～～っと勘違いしてました。 僕の感じる問題点もそこで、無限個、というのは、人は想像した気になった人は全員間違いなんだ！ と言うことが解りました。 そんなのが想像できる人はこの世にいないんだ、言い換えると、人の直観は無限を把握はしない、と言うのに気づいて、とても合点がいきました。 そのあと、０に考えが及びました。無限がこうなら、０は、何か似たような性質を感じる、と思いました。 ０＝＝何もない、というものを、数として扱う、というイメージの大逆転はすごいと思うのですが、厳密なところ、０は、何なのでしょうか? 何もない、というのは、やはり何もないということなので、数すらない、何もない、というのが正しい把握ではないか、と思うのですが。 何もない、というシチュエーションを、数として扱う、というのは、本来すごい逆転の発想だったと、０の発見についての本を読んでも、また個人的にも思いますが、何かやはり直感的に、無理なショートカットをした感じが否めません。 その何もないのを、数にしてしまって、使っている今の数学って、どう言うことになってるのかなー? と不思議に感じたのです。 でも、無限や０に関する本～専門書は、全く手に余ります。僕は本能や直観優先で、 できれば詳しい人に、０についての数学的な把握の状況を、イメージで教えてもらえたら、と思いました。虫のいい話ですが・・ 例えば、 http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999... こちらのウィキのページも、なんども読んだのですが、 あまりにも様々な定義、様々なアプローチがあって、ついて行けません。というか、これを理解しようと思ったら、根本的に数学やらないとだめ感じがしますし、 そのへんが無理っぽかったので、こちらに質問した次第です。
- c_850871
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0っていうのは本当に不思議ですよね， ちなみに0がなかったらどうなるかというと・・・ -3.-2,-1,1,2,3・・・ となりますよね．-1と1の差は2で,他の差は全て1ですから,この間にもちゃんとした数がいりますよね．結局それで0が必要になったのではないでしょうか? 0がなければ,MCMLXXXIIIなどという表記をしなければならなくなりますからね． さて,余談がすぎましたが，0には他の数字と決定的に異なる特徴がありますよね． 任意の数字に0を掛けると，答えは全て0になる． 0だけにしかないこの特徴が，極限という概念に結びついているのかも知れませんね． ですから，私の考えは ●0は数字であるが，他の数字にはない特徴を有している有限な値である． と思います．
お礼
回答ありがとうございます！ 本当ですね、賭けたら全部ゼロになる、というのは、「無に返す」操作、という気がします。 「０は数字である」 「０は有限な値である」 というのは数学上の定義でしょうか? あるいは証明の結果でしょうか? i などと同じで、そう決めたらうまくいくんだから、という話なら、それはそれで納得できないことはないのですが。 もし０も無限も、人間の認知外の話だ、というのが合っているなら、 多分ダイレクトな定義は根源的に不可能かも、と思ってしまいます。 そのあたりも、調べてないわけではないのですが、 何か明確な話が見つからないし、たぶんもしかしてよく分かっていない? のかとも勘ぐります。 あるいは、この関連の話を調べていると、非常に難しい高度な数学の話が出てきますので、「ん～～、これはなんだかなー？」 と思っています。 回答うれしいです。
- jmh
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０は有限です。 > ０．９９９・・・＝１，等の証明を見てて、思ったんですが、 > その証明を省略しないで書いてみてください。特に左辺を。
お礼
回答ありがとうございます。 0は有限、というのは、NO1の方も言われてたのですが、どうしてそうなるのか知りたいのです。 有限と定義したから有限、というのではなく、 人間の認知の問題として、0の持つ本質的なイメージ、という風な意味で質問しました。 質問時にはまだ混乱したまま投稿してしまい済みません。 ０．９９９・・・＝１の証明は、僕も初心者向けの本でいくつか読みましたし、論理的には十分納得しています。 なので、左辺も、たぶん知識としては知っている、と思います。 あるいは、定義の問題としてなら、自分でも分かってるかなーと思います。 ただ、直感的に、極限＝有限、という話は、簡単に腑に落ちる物ではないので、何かいい説明を知りたいなーと思っています。
無限は確かに、私にとっても謎です。 不思議です。今でもよくわかりません。 人間はイメージとして無限を捉えられないように思います。
お礼
回答ありがとうございます。 数学では、0は、というか、ゼロの性質について、何か定義されてるのでしょうか? 僕も自分でイメージトレーニングのようなものをしてみましたが、無限はもちろんイメージできませんし、０も、最初はできてると思ったのですが、よく考えたら、何もないものをイメージなどできません。 空っぽの箱ですら、箱、という有限の存在を使わないと、だめですし。 何もないこと、というビジョンはないように思いました。作れないなーと思いました。
- owata-www
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質問とは関係ありませんが… ０という概念は、確かになかなか理解しがたいものだと思います。その証拠に、０を数として扱うようになったのは紀元後のことだったはずです（確か） また、０を数として扱うことが数学の飛躍的な発展につながった…と言われています。
お礼
こんにちは。 お返事遅くて済みません。 0は、分からないんですねー。本当におっしゃるとおり。 自分でも結構考えたつもりなんですが、やっぱり詳しい人に質問しないと、と思いました。 インドでできた、とか言われてますねー、ゼロ。 んーーわからん。 回答ありがとうございました。
0.9999999...... = 1 よくこのような表記をしますが 左辺＝１と言ってるのではありません。 左辺の極限値が１だと言っているのです。 極限値と関数値（ｆ（ｘ）＝常数値＝１）を混同しているように思います。
補足
こんばんは。回答ありがとうございます。 いきなり返すようなのですが、その・・ 左辺の極限というのは、９が無限に続く、という意味ですが、 これを間違いやすいのは、「無限に続く」という事実を、人は論理的な操作の過程としてしか把握できない、 あるいは、無限に続くイメージを人間はダイレクトに把握できない、という問題があるのでは、とおもってます。 極限値と、関数値の混同は、たぶんこれが原因で起きるのではないかと思ってるのですが・・・誰かに聞いてみたい。 その問題は、「０」に対しても、やっぱり当てはまるのではないでしょうか？ 直観を使ってもダイレクトに把握できない、という数字の、０や無限の性質について、高校のころからずいぶん悩んできて、最近やっといい感じで疑問がわいているのです。 僕自身は、脳の機能の制限の問題と絡めて考えています。最初からそう書けば良かったんですが・・・ 済みません、質問文がひどすぎます。
- owata-www
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細かい専門的な話は知りませんが、私は０は「無」を表しているものだと思うので、有限とか極限とかそういった次元のものではないと思います。 ｘ→０という時は、無限に小さいという極限という意味であり、決して無を表しているわけではない…というのが私の見解です。
お礼
こんばんは。 回答ありがとうございます。 無、と無限に小さいは違う、という意味ですね？ 下の方にも書いたのですが、質問文が混乱していて。 僕は、直感的には、人は無限も０も把握できない脳みそをもって居るんだなーと最近気付いたのです。 そのことをダイレクトに質問に明記したら良かったなーと思ってます。 ご迷惑おかけしてます。
- kabaokaba
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0は有限で「数」． 極限について根本的な勘違いをしてます． 極限というのは 「変化している途中」ではなく， 「そのままずーっといって近づく先が存在するときに その近づく先」のことをいいます． いうなれば「到着点」． 0.999.....というのは動いている状態ではなくって ずーっと9が続いていけば，その動いている状態は どんどん1に近づいていくわけで その到着点のことを表記したものです． つまり， 0.9999999...... = 1 という式は， 0.9 0.99 0.99 0.999 ..... のようにそのまま9を加えていくと その値はどんどん1に近づいていくが，その近づく先を 0.9999............ と表記することにすると 実際は，それは1だから 0.99999...... = 1 であるというような意味合いです． ＃実はちょっと省略している部分があるけども ＃そこは本質ではないのでスルー 同様に，たとえば n->∞とすると 1/n -> 0 なんてのも n->∞というのは「nをどんどん大きくしていくと」ということで 「1/n->0」は「どんどん0に近づいていくので， そのことを 1/n -> 0 と書くことにしよう」 というようなことです．
お礼
回答ありがとうございます。 質問文が混乱しておりご迷惑かけています。 返事いただけただけでもありがたい。 質問は、結局０の本質について僕は質問したかったのかもしれない、と思っています。 まじめに考えると奇妙きてれつですねー。 ０．９９９について説明ありがとうございます。 このことについては、書いていただいてるように、どんどん、と言うところが解っていなかったことが最近知りました。 どんどん、というのは絶対終わらない、という意味みたいですね。 でも永遠に終わらない、ということは人は直感的には把握できないので、誤解が生じる、と理解しています。 つまり言い換えると、無限操作？というか、無限に９をかき続ける、ということが、人の脳には本質的にイメージできない、というのが原因かと。 それは、時空間の理解で、例えば２次元が、無限に広がる平面、というのを、この間まで僕は、ハンカチのような四角形をイメージしてたのですが、それが全く間違いだ、と言うところに気づいたばかりです。それは無限の大きさの平面できりがないんだ、ということですよね？ この０．９９９・・・も同じ性質を感じます。 無限を人は、直感的にはイメージできない、という性質です。 同じことを、０にたいしても僕は最近感じるようになりました。 ０も、やはり、「わからない」というのが、今の感想です。 これを質問文に書けばよかった・・かなり泡くって混乱してました。 失礼しました。
補足
こんばんは、 回答ありがとうございます。 混乱してますー 下の方へのお礼書いてて思ったのですが、 例えばどんな数でも、極限として定義できます。１＝０．３３３・・・と言うふうにです。 その意味では０も同じです。 でも、１，２，３・・・は、自然数、という言葉が表すように、人の認識にとって、もっとも自然な数字であり、その意味では、極限による定義など受け付けない、規定の物、という気がします。 自然数を規定の物、と考えるスタンスでは、０は、やはりとても奇妙な物だと感じます。 当り前と思ってしまえば、普通になるのですが。 もし自然数こそが自然である、というスタンスに立つなら、つまり＝＝有限な存在こそ限りのある数字こそ、普通だ、と言う人の感性に立つなら、 ０は、極限として定義せざるを得ない数字だ、といえるのかな、と今ふと思いました。 もしかして、これは、人が規定として、デフォルトとして、何を感じるのか?、というものが、０の不思議さに関係してるのかな?と思いました。 大げさに言えば、１や２や３があることも、とてもふしぎな気もします。 また、有限＝限りがある、という、つまり、認識できる、把握できる物、という定義なら、やはり０と無限は、へんな数字、という気もします。 位取りの０ですよねー。そうですねー、何か最初インドでできたときは、そんな風だった、と読んだ気もするのですがー。 言われるとおり、実に異質ですねー。当り前に思ってたのですが～～。無が、数字だなんて・・・ありえないかも。 あまり、この０の不思議なことについて本とかが見つけられません。単に僕が変わってるだけかもしれませんが・・・ ありがとうございました！