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無限集合の性質について考える
- 無限集合の増減についての一般的な性質を考えることはできるのか？
- 宇宙空間の体積を例に、無限集合の増減について考えてみる。
- 数学の専門家によれば、無限なものが増減するという命題は矛盾することではないが、具体的な性質によって異なる結果が得られる可能性もある。
- Mokuzo100nenn
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> ちなみに、宇宙（＝観測可能な宇宙）の体積をN3とおき、観測可能でない部分も含む宇宙（＝大宇宙？）をNと置くと、面白いことに、下記の三つが同時に成り立ちます。 > １．N⊃N3であり（＝N3はNの真部分集合になります） 問題ないだろうね。 > ２．且つ、NとN3は全単射であり（要素どうしで一対一の対応が取れます） そのように操作することは可能だろうね。 > ３．且つ、N-N3≠Φ（空集合ではない、、、N5とかN7とかがあります） N⊃N3であって、N⊇N3ではないということの帰結だろうね。 > ただし、上記の三つが成り立つためには、NとN3が共に無限集合でなければなりません。 要素の個数としてはね。実数の集合で1次元で次のような1対1対を考えてみようか。 ユークリッド平面上に無限遠の直線1があるとする。半直線ではなく、直線だ。 この直線に接するように半径1の円もあるとする（交わらないように離れていてもよい）。 この円の中心を通り、直線1に平行な直線2を引く。円との交点をA、Bとしておこう。 円の中心から始まる半直線を用意し、AからBまで、直線1側で半直線を動かす。回転、と言ったほうが分かりやすいかもしれないね。 このとき、半直線が直線1と交わるは、直線1の全てを通る。 こうして、有限長の曲線と無限長の直線に1対1対応が作れる。3次元空間なら、これが3つあれば、無限大体積のユークリッド3次元空間と有限体積の対応が作れる。点の個数としてはね。 実数で対応が取れるということは、有理数に限定してみても対応が取れる。上記の半円で等間隔でない目盛を許せば、整数での対応も可能だ。当たり前ではあるが、念のため申し添えておく。 > まあ、観測できない方は無限だと主張しても構わないので、観測できる宇宙の方が無限かどうかが重要です。（体積が無限でも、内包する線が無限でも良いですけど、、）。 何について無限と考えているかということだよ。あなたが考えてみた対応あるいは包含関係というのは、体積については何ら情報をもたらさないわけだ。距離は点の個数ではないからね。 観測できる宇宙の体積が有限ということは、ほとんど考えるまでもなく確定している。平坦な3次元空間に存在する有限半径の球であるからね。 > しかし、観測できると言う事は、数値化できると言う事であり、数値化できるということは無限大はあり得ない、と言う事でしたね。 その通りだよ。あなたは考えが全く進まないようだが。もう少し平易な教科書を探してはどうかね？
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> 付けくわえると「空きがある」のに「満室」ってのは、これいかに？ > ここに矛盾があるのではないか、と言う疑念を払拭できないのです。 アレフ0の無限は埋め尽くすことができないということだよ。多少、便宜的な言い方だがね。証明や説明は既に行った。なんとなくこう思う、そう思うのは嫌だ、という状態を維持している限り、どうにもならんようだがね。
お礼
有難うございます。 私も無限に関する本（大人のための数学(3)志賀浩二著、無限への飛翔 副題集合論の誕生）を少し読んだことがありますので、多少の事を知識としては知ってます。 例えば、 自然数の集合Nと、三の倍数の集合N3を定義すると、 １．N⊃N3であり（＝N3はNの真部分集合になります） ２．且つ、NとN3は全単射であり（要素どうしで一対一の対応が取れます） ３．且つ、N-N3≠Φ（空集合ではない、、、N5とかN7とかがあります） とか。 有限集合では同時には成り立たない関係が、無限集合どうしの場合は同時に成り立っています。 あるいは、 線（一次元）を埋め尽くすすべての点からなる集合と、面（二次元）を埋め尽くす全ての点の集合は、ともに濃度が同じ（アレフ１）であって、一対一の対応が取れる、とか。 これなど、何度も証明を読んで、その場では納得した気になっても、感覚的は一次元と二次元で同じはずはないという、ある種の拒否感がのこりますね。 無限集合の性質は、日常生活で持つ「モノの集まり」に対する感覚とかけ離れているわけですから、無限という言葉を使うときには、よほど慎重に使わないといけないですね。 長いこと、沢山のアドバイスをいただき、ありがとうございました。
補足
ちなみに、宇宙（＝観測可能な宇宙）の体積をN3とおき、 観測可能でない部分も含む宇宙（＝大宇宙？）をNと置くと、 面白いことに、下記の三つが同時に成り立ちます。 １．N⊃N3であり（＝N3はNの真部分集合になります） ２．且つ、NとN3は全単射であり（要素どうしで一対一の対応が取れます） ３．且つ、N-N3≠Φ（空集合ではない、、、N5とかN7とかがあります） ただし、上記の三つが成り立つためには、NとN3が共に無限集合でなければなりません。 まあ、観測できない方は無限だと主張しても構わないので、観測できる宇宙の方が無限かどうかが重要です。（体積が無限でも、内包する線が無限でも良いですけど、、）。 しかし、観測できると言う事は、数値化できると言う事であり、数値化できるということは無限大はあり得ない、と言う事でしたね。
> 不覚にも、任意の素数を二つ選ぶと、つねに公倍数があることを見落としていました。 論旨に回避不能の支障を生じたわけではない。 > 「３の偶数倍」「５の偶数倍」、、「素数の偶数倍」という集合にする方が良かったですね。そうすれば、１５号室のような部屋番号重複を回避できました。 3×10＝30＝5×6。 > ところで「増設」という言葉は、やはりこの議論を分かりにくくしていませんか？ 特に分かりにくくなることはないだろうね。 > 自然言語で論ずることのデメリットかもしれませんが、、。 自然数n（n＝1. 2, 3, …）の無限数列{1, 2, 3, …}に対し、2nなる変換を行って{2, 4, 6, …}とし、2n-1の数列{1, 3, 5, …}なる無限数列との和集合{1, 2, 3, …}を作る、とでもすればよいのかね？ > 劣化コピーのシナリオにこだわって申し訳ありませんが、下記のような見方は成立しないでしょうか。 > １．無限ホテルには本館、新館、別館、、、、と分かれていた。 この設定のため、あなたの無限に対する誤解を解くようなものになっていない。後述する。 > ２．本館だけで部屋は無限にあり、部屋番号は「３の偶数倍」で割り振られていた。 問題ない。 > ３．無限ホテルは無限の部屋数が「満室になった」と言って、商売繁盛を宣伝していた。 本館についてのみ、なのだろうね。 > ４．ある日、無限の部屋数が満室であるにもかかわらず、新たに客が現れ、どうしても宿泊したいと言った。 特に問題ない。泊まれるかどうかということだね？ > ５．そこで、無限ホテルは、「5の偶数倍」で部屋番号がふられている新館に案内した。 新館は満室ではなかったのだね？ > ６．やがて新館にも無限の客がチェックインしたので、満室になり、その後にあらわれた客は、「7の偶数倍」で番号がふられている別館に案内した。 特に問題ないだろうね。 > ７．3，5，7,11,,,と素数が尽きることは無いので、無限ホテルが全体として「満室なることは永久になかった」、、、、？？？？ そのようになるだろうね。これは無限数列を無限に用意し続けるというモデルになっている。あなたの今回の無限に対する迷妄は、一つの無限数列があれば、その無限数列に空きはないというものだ。 その誤解を解くような問題設定ではない。あなたの上記設定では、別の無限数列を用意したに過ぎない。せめて、例えば本館と新館（さらに別館）をマージくらいはするべきだったんだろうね。 ここまでの回答で、分かりやすいものでは、自然数を2倍にすると奇数が空くというものを提示してある。もっと直接的に1から始まる自然数を2進数で無限個数え上げた集合には、少なくとも一つ、集合に含まれない自然数があるということも示した（これを永遠に繰り返せるため、含まれない自然数は無限個ともなる）。 > 無限の扱いに関して、上記のシナリオのどこかが間違ってるはずなのですが、私自身では、どこが破綻しているのか、良く分かりません。 ロジックとしては特に問題視しなくてもいいだろう。証明をしているわけではないからね。問題は、あなたの無限に対する迷妄を解くような設定ではないということだ。 しかし、こうなるのも当然だろう。迷妄に囚われたまま、問題を設定してみても迷妄から逃れることはできない。迷妄を解くために、どうするかは自分で決めて、自分で努力してもらいたい。頭の中をいじれるのは、結局は本人だけなのだからね。
お礼
素数を偶数倍にしても、重複が出てきました。これは恥ずかしい。高校入試問題レベルで間違えるという現実を直視しないといけません。 ＞あなたの今回の無限に対する迷妄は、一つの無限数列があれば、その無限数列に空きはないというものだ。 はい。どうもそのようです。 付けくわえると「空きがある」のに「満室」ってのは、これいかに？ ここに矛盾があるのではないか、と言う疑念を払拭できないのです。 副産物ではありますが、「無限の客人を泊めながら、決して満室にならない」ホテルなら設計できそうです！ 一旦、無限ホテルの例え話から離れて、実無限と可能無限など、新しく学んだ言葉の整理でもすることにします。 どうもありがとうございました。
> 仮に、無限ホテルが満室になる状態ができるとすれば、その時点で、自然数はすべて使い尽くされているわけですあから、部屋番号をシフトすることができないのではないでしょうか？ まだ理解できないようだね。2進数で斜めにたどるというもの（対角線論法と呼ばれる有名な手法）が理解できなかったのかね？ それなら、理解できるまで考えることだ。自然数を使い尽くすことは無限が絡むと不可能なんだよ。 > 逆に、部屋番号をシフトする事ができるならば、未使用の自然数がのこっていた、すなわち、「満室になっていた」というのは嘘、誤解、勘違いなのではないか、と思えるのです。 無限大まで1ずつ数え上げた自然数の集合であるにも関わらず、使われていない自然数が存在するわけだよ。ありそう、といったものではなく、確かにあるという証明が可能で、先のはその一例だ。使われていない自然数は無限桁にならざるを得ないので、明示的に書くことはできないけどね。これは有限の自然数では生じないもので、感覚的には納得しにくいが、論理による結論である以上、受け入れるしかないわけだ。 > まあ、私の感覚が数学的でないということかもしれませんが、数学で論ずるべき「無限」を日本語で、例え話を交えて論じることの限界かもしれませんね。 そうだろうね。自然言語ではできないことがあるからから、例えば数学があるわけだ。感覚では理解できないことをロジックで詰めていくことも行える。 > １．無限ホテルでは、「3の整数倍」で部屋番号を振っていた。 特に問題ない。 > ２．「3の整数倍」は無限にあるので、ホテルの部屋数とアレフ０の無限集合は全単射である。 特に問題ないように操作できるだろうね。 > ３．満室になった後に客がきたので、部屋番号を「5の整数倍」に書き換えた。 問題ないだろうね。 > ４．「5の整数倍」というアレフ０の無限集合は「3の整数倍」と全単射であるから、全ての部屋番号を書き換える先（新しい部屋番号）が有る。 特に問題ないように操作できるだろうね。 > ５．新しい客は「3の整数倍」の部屋番号にチェックインさせた。 問題ありだ。3の整数倍の部屋番号は書き換えたのだろう？ 3の倍数であるのは、15の倍数になるが、5の倍数の部屋全てには客がいる。どういう操作で「3の整数倍の部屋番号」の部屋に新しい客を割り当てたか、操作が不明だよ。 仕方がないので、3の倍数の部屋を増設したのだとしよう。15の倍数について既存の部屋と重なるが、とりあえず15の倍数の部屋番号については増設しなかったとしておこう。 > ６．やがて再び「3の整数倍」の部屋番号の部屋が満室なった（＝この部分が現実には起こり得ないという、疑問が残りますが、、、） 上記の追加条件下で、特に問題ないだろうね。客を入れる操作が気になるなら、「部屋が存在する」でもよいよ（二度目）。 > ７．無限ホテルは、5より大きい素数＝7を選んで、「3の整数倍」の部屋番号を「7の整数倍」の部屋番号に書き換えた、、、。 問題ないだろうね。 > ８．素数は無限にあるので、上記の「部屋番号書き換え作業」を無限に繰り返すことができる。 問題ないだろうね。 さて、わざわざこんなことを書いてよこすとは、やはりあなたは私の回答を読んでいないね。自然数を偶数に書き換え、奇数番号の部屋を増設する例え話を出してあるのだがね（#4）。 #4> 無限ホテルのオーナー「来年は部屋数を倍増するぞ。まず部屋番号を2倍に書き換える。1、2、3、…を2、4、6、…にする。偶数だ。分かるな？」 #4> 無限ホテルのオナー「そうしたら、1、2、3、…と奇数の番号の部屋を増設だ」 自然数→偶数に書き換え→奇数を増設、これは自然数に戻る。自然数を、また偶数に書き換えれば、と考えれば何度でも繰り返せる操作であるわけだよ。 あなたの上１～８は、劣化コピーであるに過ぎない。しかも、改悪コピペをしておきながら「私が気づいた説明方法で」などと、あたかも自分で考えたが如く言っている。卑陋千万と言うべきであろう。失念していたのであっても同じだ。読んでいないのなら、さらに悪質であろうね。
お礼
チェックしていただきありがとうございます。 不覚にも、任意の素数を二つ選ぶと、つねに公倍数があることを見落としていました。 「３の偶数倍」「５の偶数倍」、、「素数の偶数倍」という集合にする方が良かったですね。そうすれば、１５号室のような部屋番号重複を回避できました。 ところで「増設」という言葉は、やはりこの議論を分かりにくくしていませんか？ 自然言語で論ずることのデメリットかもしれませんが、、。 劣化コピーのシナリオにこだわって申し訳ありませんが、下記のような見方は成立しないでしょうか。 １．無限ホテルには本館、新館、別館、、、、と分かれていた。 ２．本館だけで部屋は無限にあり、部屋番号は「３の偶数倍」で割り振られていた。 ３．無限ホテルは無限の部屋数が「満室になった」と言って、商売繁盛を宣伝していた。 ４．ある日、無限の部屋数が満室であるにもかかわらず、新たに客が現れ、どうしても宿泊したいと言った。 ５．そこで、無限ホテルは、「5の偶数倍」で部屋番号がふられている新館に案内した。 ６．やがて新館にも無限の客がチェックインしたので、満室になり、その後にあらわれた客は、「7の偶数倍」で番号がふられている別館に案内した。 ７．3，5，7,11,,,と素数が尽きることは無いので、無限ホテルが全体として「満室なることは永久になかった」、、、、？？？？ 無限の扱いに関して、上記のシナリオのどこかが間違ってるはずなのですが、私自身では、どこが破綻しているのか、良く分かりません。 このシナリオのどこが間違っているのか、ご指摘ただけると有り難いです。
> 宇宙論の研究論文では、一般人のものでも専門家のものでも、「宇宙」といえば「観測可能な宇宙」を指すことが多い。ーーーWikipedia日本語版 ウィキペディアから引用して来て、何になるのかね？ あなたが書いた文脈が問題なのであって、引用があなたの文脈に対応していなければ意味はないよ。 > 長々と私の説明に逐一難癖つけて、悪態ついてるのに、下記の部分だけはパスするとこみると、図星をつかれて悪態も付けないってことでしょうか。 やれやれとでも言うしかないが、回答済みだよ。 >＝＝＝以下 再掲＝＝＝ > ＞観測可能な宇宙の範囲ではどうやら曲率はゼロで、体積は無限大となる。 私がそのように書いたと回答済みなのだがね。おそらく、この一文があなたのあからさまにおかしな解釈になるとしないと、あなたは己がレーゾンデートルに何か重大な支障があるようだね。私はそのことに関知しない。 しかし、固執するようだから、もう少し、さらに平易にもして再回答して差し上げよう。 あなたが気にする宇宙のうち、曲率がゼロのもの、平坦な宇宙ということだ。あなたは平坦であるとは何か分かっているはずだね。空間としてユークリッドであるということだ。膨張はしていてもね。宇宙内で平面を設定し、三角形を描けば内角の和が180度になる。そうだね？ あなたは三角形で述べたりもしていた。 さて、観測可能な宇宙がユークリッド空間であり、膨張速度は有限だ。観測可能な宇宙の境界の膨張速度（後退速度）は光速度という有限の速度だ。どちらを向いても同じということから、球であることは分かるね？ あなたは、宇宙について解説する者（私やTVの専門家などだな）が、膨らみつつある有限半径球の体積が、ユークリッド空間では無限になると言った、と誤解してしまったわけだ。説明している側（私や当該のTV番組などだな）からすれば、想定外だよ。小学生でもそんな誤解はしないからね。 実はそのようなことは、あなたにも分かる。小学生でも間違わないとね。球を半径でみて1次元にすれば、膨張宇宙はゴムひもといったところだ。観測可能な宇宙は伸びつつある有限のゴムひも。ゴムひもが真っ直ぐなら無限長になる。そんな勘違いをしたわけだ。小学生でもそんなことは思わないよね。 そのことは、あなたもようやく気が付いた。小学生でも間違わない。だから、自分がそんな勘違いをしたことにしたくない。したくないと言ってみても、してしまったのだから手遅れなんだけどね。それはともかく、自分の勘違いとしないためには、相手が間違ったとするしかない、とあなたは考えた。 そして、こうやって粘着しているわけだ。もともとの質問を放り出して、だな。 それが小学生の振舞いということだよ。いや、未就学児かな。 まあ、あなたのレベルとしてはそんな程度だよ。あまりものアレなので、ふと思い出した。確かあなただったよね。bring beer in hereという言い方がおかしいと質問していたのは。 ようやく分かったが、bring inという句動詞だと思い込んで、あのような誤解をして、言い換えまで作って得意げになにやら言っていたわけだ。平易に読めば、bring beerをしてはいけないのが、場所がin hereというだけのことだ。 しかし、おそらくあなたはbring inという句動詞の用法だけを調べ、用法として合うものが見つからず、変な英語をネイティブが書いたと思い込んでしまったわけだ。嬉しかったんだろうね。自分がネイティブより英語で優ると証明できる、自分はなんて偉いんだと言える。 もちろん、結果はご覧の通り。普通に読めばいい文を、普通に読む可能性を考えなかったことを満天下に晒してしまったわけだ。 あなたはそういうことが多いようだ。あなたの意図とは反対に、何か述べれば述べるほど、「この人は駄目だな、救いがたいな」と思われていると思うよ？ それでよければ、今後も同じようにすればいいとは思うがね。ま、忠告まで。 で、ここまで読んだあなたはすっかり忘れているだろうから、注意を喚起しておこう。あなたの質問は「無限なのに「増える」？」だよ。その質問にずいぶん回答がついているが、ほぼ忘れてしまったかのような状態だ、あなたがね。さらに、宇宙論についてあなたがねじ込んだ追加質問についても同様だ。ここは、質問と回答の掲示板だということを、多少なりとも思い出すようにしたまえ。
お礼
お礼欄に書いた感想に対して、回答者であるあなたが「説明したまえ」と要請し、その要請に私が応えようとした為、原質問からだんだんとずれてしまいましたね。 今後は、あなたの要請に振り回されること無く、回答に書かれた文章を忠実に読むようにします。 原質問に関する回答として、「無限のものは、増減はしない」という理解をしました。 無限ホテルの例では、「増築は意味が無い」ということですよね。 「しかし、部屋番号のシフトは意味がある」という回答をもらったようなのですが、この部分に関しては未だ釈然としません。 仮に、無限ホテルが満室になる状態ができるとすれば、その時点で、自然数はすべて使い尽くされているわけですあから、部屋番号をシフトすることができないのではないでしょうか？ 逆に、部屋番号をシフトする事ができるならば、未使用の自然数がのこっていた、すなわち、「満室になっていた」というのは嘘、誤解、勘違いなのではないか、と思えるのです。 まあ、私の感覚が数学的でないということかもしれませんが、数学で論ずるべき「無限」を日本語で、例え話を交えて論じることの限界かもしれませんね。 このスレッドは紆余曲折があって、変な方向になりましたが、この先、質問の設定をよく考えて、また質問させていただくかもしれませんので、其の時には、懲りずに回答をお願いします。 どうもありがとうございました。
補足
下記のお礼を書き込んだ後に、貴方の回答を再度読み直しました。 下記の部分が私にとって重要であると気付きました。 もう少し時間を掛けて完全に消化するようします。 重ねてお礼申し上げます。 ＝＝重要であると気付いた部分は以下＝＝ 無限大を有限の単純な延長だと思い込んでしまうと、間違うこともあるわけだ。あなたが、無限個の集合の要素に自然数を対応させたら、もう自然数が残っていない、だから無限個の集合には新たな要素を付け加えることができない、といった誤解は、有限の単純な延長で無限を考えられると思ってしまっているせいだろうね。
引用が長すぎて分割することになった。まあ、分割したほうがいいだろうけどね。 もしあなたが、観測可能な宇宙について、ある種の天体との類似性を考えて、無限の体積の可能性があるのか、と問うたなら、多少は感心し、きちんと答えただろうね。数式を多少なりとも理解しないと出て来ない疑問だからだ。 しかし、あなたはそうしなかった。できなかった。140億光年かそこらの半径、既に飛び去った分を考えても高々500億光年以内と、単純に考えていながら、無限かどうかで揚げ足取りを考えたわけだ。 それでは呆れるしかないんだよ。単純に有限の半径の球の体積が、無限か否かを迷うなんてね。いや、迷っちゃいないか。無限大の体積だと言ったと思い込んだんだったね。 間違えて恥ずかしいのは分かる。確かに恥ずかしい間違いだ。普通は間違いようなないことだからね。しかし、恥ずかしいからといって、間違いではないと延々と語るのは、もっと恥ずかしいことなんだよ。それは違うよと言われて、直ちに勘違いを正せば、大したこではなかったのにね。 忠告だが、能力以上のプライドを持とうとしないほうがいい。特に学問の世界ではね。肩書きも金も長幼の序も意味をなさない。正しいことを言えるかどうかだけだ。よく心得ておきたまえ。
お礼
Both popular and professional research articles in cosmology often use the term "universe" to mean "observable universe".ーーーWikipedia 宇宙論の研究論文では、一般人のものでも専門家のものでも、「宇宙」といえば「観測可能な宇宙」を指すことが多い。ーーーWikipedia日本語版 長々と私の説明に逐一難癖つけて、悪態ついてるのに、下記の部分だけはパスするとこみると、図星をつかれて悪態も付けないってことでしょうか。 ひょっとして読み飛ばしてしまったのかもしれないので、再掲しておきます。 ＝＝＝以下 再掲＝＝＝ ＞観測可能な宇宙の範囲ではどうやら曲率はゼロで、体積は無限大となる。 回答No18で、あなたは上記の様に書いたね。 覚えていないかもしれないが、あなたが書いたことは記録に残っているから、疑問に思うなら確認したまえ。 あなた書いた上記の文章は不完全であり、省略している部分を読者が想像し、補完しなけらばならない。 すなわち、あなたが書いた文章の省略を補完すると下記のいずれかである可能性が高い。 省略前文書候補１：観測可能な宇宙の範囲ではどうやら曲率はゼロで、（観測可能な宇宙の）体積は無限大となる。 省略前文書候補２：観測可能な宇宙の範囲ではどうやら曲率はゼロで、（観測可能ではない宇宙も含めて）体積は無限大となる。 まず候補2を吟味しよう。 候補2の文章は、前段で観測可能な宇宙に関して曲率をテストし、文章の後半では、テスト領域とは異なる範囲に関してアファーマティブになっておる。 このようなテスト領域と、アファーマティブ文で領域が相違する文章を書いておれば、論文失格まちがえなし。 あなたが他の投稿で比較的精緻な文章表現をしていることを勘案すれば、いくらなんんでもこの様な稚拙なコンテキストを書き込んだとは思いたくない。
> しかしね、自分が書いた文章を忘れて、あたかも読者の方が莫迦であるかのごとき主張をする傲慢さは鼻につきます。 知識不足を自覚せぬ者に対して、極めて親切に回答しているのだがね。私は心が広いのでね。 ＞自分が何を元に、何を訊いているか、よく考えて、どうしてこのような追加質問になったか説明したまえ。 > このQ&Aサイトでは、回答者が質問してはイケない事はご存じでしょう？ 一つの質問をして、延々と他の事を補足で質問し続けるのが違反だということだよ。私の決めたことではないので、文句があればこの掲示板管理部門に言うことだ。 > しかし、議論をしない限りにおいては、まあ、あなたのルール違反も多めに見てもらえるという期待のもとに、あなたの疑問を解消できるか、以下に努力してみることにしよう。 あなたは質問に対する回答を受ける権利はあるが、それ以上はない。まあ、もともと質問ではなく、いつものように「お偉い先生とやらはバカだねー、俺でも論破できちゃうぜ、そうだろ？」（意訳）的な何かであろうけどね。 >＞観測可能な宇宙の範囲ではどうやら曲率はゼロで、体積は無限大となる。 心配せずともコピぺなのだろう？ > あなた書いた上記の文章は不完全であり、省略している部分を読者が想像し、補完しなけらばならない。 理解できて当然のことだからさ。次のように書けというわけだね。 > 観測可能な宇宙の範囲ではどうやら曲率はゼロで、観測可能外の宇宙を含めた全体は体積は無限大となる。 観測可能外の宇宙だけでもいいがね。観測可能外も含む全宇宙であることはは当たり前だから最初のように書いたのだよ。まさか、観測可能な宇宙限定で無限かどうか考えるくらいに知識不足でこんな質問が出るとは予想できないのでね。しかも、無限についてあれこれ語りもする。 己の無知による勘違いを棚に上げて八つ当たりするのはやめておくことだ。 > すなわち、あなたが書いた文章の省略を補完すると下記のいずれかである可能性が高い。 > 省略前文書候補１：観測可能な宇宙の範囲ではどうやら曲率はゼロで、（観測可能な宇宙の）体積は無限大となる。 > 省略前文書候補２：観測可能な宇宙の範囲ではどうやら曲率はゼロで、（観測可能ではない宇宙も含めて）体積は無限大となる。 ２しかないんだよ、いやしくも宇宙論に口出しするならね。１かもしれないと思えるのなら、宇宙について、少なくとも大きさについては語るのをやめておくことだ。恥しかかかないからね。まず学んでからにしたまえ。 > まず候補2を吟味しよう。 （以下略） > したがって、善意なる読者は、あなたが書き込んだ文章は、コンテキストとして候補１に相違ないと判断する。 本当に無知であるなあ。情けない。宇宙の体積を観測可能な宇宙の範囲で語る者はおらんよ。半径だけでよい。当然、有限だ。無限かどうかに言及したら、全宇宙であることは、宇宙についてのいろはであるんだよ。 > すなわち、あなたは 「観測可能な宇宙の範囲ではどうやら曲率はゼロで、（観測可能な宇宙の）体積は無限大> となる。」と書いたわけだ。 レトリックでどうかなる問題ではない。例えばね、「地表で鉄球を手に持って高さhまで上げて、手を放すと鉄球は加速度運動を始める」と書いたとしよう。地面に向って加速度運動を始めることは書かずとも分かる。宇宙の体積が無限か否かと言ったら、全宇宙が対象であることは、それと同じくらい明白なんだよ。 知識が無さ過ぎて分からないかもしれないがね。しかし、知識がないならないで、そのように質問すれば、どの程度分かっていないかを推測しながら回答することもできなくはない。しかし、あなたはいつものノリでガクシャセンセイがおかしなことを言ってるぞ的な書き込みをした（あえて質問とは言わないでおく）。 それなら、それなりの対応をするさ。あなたが問題視した一文はあなたの言いように合わせてあるわけ。その解釈を誤ったのもあなたの無知が原因。無知なら無知でもいい。無知と分かるように質問したまえ。 > あなたの脳内がどうなっていようが、読者には関係ないことであって、あなたは、あなたの言語能力の限りにおいて、脳内の論理を文章にして表現し、読者はその文章を理解したにすぎない。 従って、あなたの今回の誤読や誤解は私の責ではないね。あなたが質問文に示したことと対応するだけの知識があればよかったわけなんだよ。つまり、あなたの責であるわけ。 > 読者の限りある知識で、あなたの文章による主張を解釈すれば、観測可能な宇宙で三角形の内角の和が押し並べて180°未満であれば、観測可能な宇宙の体積が有限ではないという可能性も理解できる。 > 誤）観測可能な宇宙で三角形の内角の和が押し並べて180°未満であれば、 > 正）観測可能な宇宙で三角形の内角の和が押し並べて180°以下であれば、 いや、観測可能な宇宙の体積が無限かどうか考えたなんて、初めて出あったよ。宇宙について語っておきながら、そんなことも分からない人間がいて驚いて、苦笑している。 > その理解に基づき、あなたの投稿の後半を読めば、なんと、あなたは下記の文章を書いた。 > 「もし観測可能な宇宙の外で曲率がプラスなら、宇宙が閉じている可能性があり、体積も有限となる。」 > 直ぐ前で、観測可能な宇宙の体積が無限であると、「どうやら」付きではあるももの、あなたはアファーマティブに主張した訳だ。 そんな受け取り方をするほど無知な人がいるとは思わなかったのでね。少なくとも一人いることは分かったが、説明方針を変える必要もない。宇宙や無限について何やら自信ありげに語っておきながら、そこまで無知な人間に出くわすのは、ごくまれな不可抗力の事故に等しいからね。 > 繰り替えすが、あたなの脳内なんか知る由もない。 知る必要はないさ。知りようもないしね。必要なことは書いてある。素直に読めばいいんだよ。誤読を指摘されたら素直に直せばよい。 > あなたが書いた文章を忠実に追いかけると、大いなる矛盾があるではないか。 ないんだけどね。 > あなたは意図的か、単なる不注意か知らんが、部分集合の体積が「どうやら」無限であると主張し、その舌の根も乾かぬうちに、その部分集合を包含する集合は無限でない可能性あると主張しているのですよ。 くどい人だね。 > まあ、読者が、書かれた文章を適当に読むタイプの人間なら、あなたが書いた文章の誤謬を、読者として都合よく補正することも有ろうが、現時点で争点の一つとなっているのは、観測可能な宇宙と、そうでない宇宙（＝大宇宙とでも言っておこうか）の区別であるから、この点に関しては、貴方が書いた文章に厳密に従うのが礼儀作法と言うものであろう。 厳密に従ってもらいたいね。 > ここまで解説すれば、私が回答＃１８のお礼欄に書いた「私が理解できないこと」を理解できるであろう。 いや、なぜそこまで無知でありながら、得意げにあれこれ語るのかは想像を絶している。 > もうひとつ、ルール違反である「質問者による質問」に対して、寛容にも応答をしておこうと思う。 質問者は構わないらしいよ。 >＞あなたは齢いくつなのかね？ > 好奇心年齢は5歳。科学的・数学的理解力は18歳。と理解してくれ。 ずいぶん己が能力を超えた設定のようだね。 > ときに回答者の年齢は何歳かね？ 自分から語るのはいいが、プロフに書いていないことを尋ねるのはルール違反となる。よく覚えて起きたまえ。 > 日本語による論理的文章能力から判断すると16歳くらいかと思うが、どうだろうか。 > 日本語以外の表現手段ばかりに没頭してきた24歳ぐらいの理科系学者の玉子という可能性はあるとおもっておるよ。 そういうことにしたいわけだね。 > くれぐれも、質問者である私が喧嘩を売っているなどと勘違いするなよ。 おやおや、腰が引けているぞ、最後に。 > 親切心で、あなた自信が書いた文章の解説をしただけだからね。 どう間違って読んだかの解説、ご苦労さま。 さて、あなたの本音が出たようだね。自分が偉いと言ってもらえないのは腹が立つ。それしかないわけだ。だから質問から離れたことに延々と固執する。いつものことだがね。質問はどうでもよかったようだね。そろそろ質問を閉めたほうがいいと思うよ？
お礼
長いね。
この掲示板でのルールは注意喚起したはずなんだけどね。日本語からして、ちょっとアレなのかね？ しかし、とりあえず片づけておこうか。 > １．物理学では、現在までのところ、無限の値を取る物理量が観測されたことは無い。 無限が本当に分かってないね。ここまでとは、さすがに驚かざるを得ない。アレフ等を持ち出すから、少しは知っているのかと思った。残念だ。 無限は数ではない。数にできない。数値化できないものを観測することはできない。観測という行為が何かについても分かっていないようだね。 宇宙の体積が無限かもしれないというのは、観測した範囲では宇宙が平坦だからだよ。有限な範囲で平坦ということは観測可能だ。それが観測不能な部分全てでそうなら（宇宙の等方性といったことを仮定することはよくある）、宇宙の体積は無限ということなわけだ。あなたの見たTV番組でも言っていたはずなんだがね。 > ２．自然界（自然現象）の観測結果を良く記述する数式があり、これを弄ると、有る条件下では分母がゼロに近づくので、ひょっとして自然界で物理量が無限の値をとる場所、現象が存在する可能性は否定したくない。 分母がゼロになり得る数式はいくらでもある。ブラックホールの事象の地平面についてもそうだ。先に紹介した件だな。高校物理でもある。ニュートンの重力式だな。距離ゼロで重力は無限大に発散する。 > ３．しかし、分母がゼロに近づくのは、観測できない（事象の水平面の向こう）世界のことであるから、想像する（形而上学）だけしかできない。 できる場合とできない場合があるね。簡単化した式で説明しよう。ある現象が、y=x/x^2で記述されるとする。x＝0では計算不能だ。ところが、x≠0のときなら、x/x^2＝1/xとしてよい。y＝x/x^2＝1/xは本当はx≠0のときのみで、x＝0で不連続（不定、もしくは不能）だが、連続だろうと推定し、全てのxで1/xとすることがある。光のドップラー効果などで実際に出て来る。詳細は自分で調べてもらいたい。 > １．観測可能な宇宙の範囲ではどうやら曲率はゼロで、体積は無限大となる。ーーーその可能性があることは理解してます。 本当に？ > ２．にもかかわらず、観測可能な宇宙を部分集合として包含する、「もっと大きな何か」が有限である可能性を否定しない。ーーー１．が真なら、２．の可能性を否定しなくちゃアカンでしょ。 やはり理解していないではないか。観測可能な宇宙は平坦であっても有限だよ。有限の半径でどうして無限大になると思っているのかね？ 観測可能な範囲外でも同じく平坦なら、全体では無限大の体積ということだよ。 はあなたが見たTV番組が平易に、単純化して、きわめて分かりやすく説明していたことを、多少なりとも理解するようにしたまえ。番組が言っていたことと、言っていないことを区別したまえ。そうできたのなら、回答についてもそうしたまえ。 無理筋の揚げ足取りの間違いを延々と訂正して差し上げるのも、限度がある。そんなことは常識だろう？ 低年齢、そうだな、小学校低学年以下なら別だがね。あなたは齢いくつなのかね？（二度目） > ３．つまり、先生は、部分集合が無限集合なのに、それを含む全体集合が無限集合でない可能性があると主張なさるのですか？ あなたの頭の中の先生とやらがオカシナことを言うことに関し、私は一切関知しない。自分が何を元に、何を訊いているか、よく考えて、どうしてこのような追加質問になったか説明したまえ。成人ならば当然やるべきであり、やれることだ。 そうしない、できないなら、少なくとも成人の資格、能力がないと判断せざるを得ない。それでよいなら、好きにするといいだろうね。
お礼
Thank you for your lengthy explanation. 正直、長文の投稿をしてくれたあなたの熱意に感謝しておりますよ。 しかしね、自分が書いた文章を忘れて、あたかも読者の方が莫迦であるかのごとき主張をする傲慢さは鼻につきます。 ＞自分が何を元に、何を訊いているか、よく考えて、どうしてこのような追加質問になったか説明したまえ。 このQ&Aサイトでは、回答者が質問してはイケない事はご存じでしょう？ しかし、議論をしない限りにおいては、まあ、あなたのルール違反も多めに見てもらえるという期待のもとに、あなたの疑問を解消できるか、以下に努力してみることにしよう。 ＞観測可能な宇宙の範囲ではどうやら曲率はゼロで、体積は無限大となる。 回答No18で、あなたは上記の様に書いたね。 覚えていないかもしれないが、あなたが書いたことは記録に残っているから、疑問に思うなら確認したまえ。 あなた書いた上記の文章は不完全であり、省略している部分を読者が想像し、補完しなけらばならない。 すなわち、あなたが書いた文章の省略を補完すると下記のいずれかである可能性が高い。 省略前文書候補１：観測可能な宇宙の範囲ではどうやら曲率はゼロで、（観測可能な宇宙の）体積は無限大となる。 省略前文書候補２：観測可能な宇宙の範囲ではどうやら曲率はゼロで、（観測可能ではない宇宙も含めて）体積は無限大となる。 まず候補2を吟味しよう。 候補2の文章は、前段で観測可能な宇宙に関して曲率をテストし、文章の後半では、テスト領域とは異なる範囲に関してアファーマティブになっておる。 このようなテスト領域と、アファーマティブ文で領域が相違する文章を書いておれば、論文失格まちがえなし。 あなたが他の投稿で比較的精緻な文章表現をしていることを勘案すれば、いくらなんんでもこの様な稚拙なコンテキストを書き込んだとは思いたくない。 したがって、善意なる読者は、あなたが書き込んだ文章は、コンテキストとして候補１に相違ないと判断する。 すなわち、あなたは 「観測可能な宇宙の範囲ではどうやら曲率はゼロで、（観測可能な宇宙の）体積は無限大となる。」と書いたわけだ。 あなたの脳内がどうなっていようが、読者には関係ないことであって、あなたは、あなたの言語能力の限りにおいて、脳内の論理を文章にして表現し、読者はその文章を理解したにすぎない。 読者の限りある知識で、あなたの文章による主張を解釈すれば、観測可能な宇宙で三角形の内角の和が押し並べて180°未満であれば、観測可能な宇宙の体積が有限ではないという可能性も理解できる。 その理解に基づき、あなたの投稿の後半を読めば、なんと、あなたは下記の文章を書いた。 「もし観測可能な宇宙の外で曲率がプラスなら、宇宙が閉じている可能性があり、体積も有限となる。」 直ぐ前で、観測可能な宇宙の体積が無限であると、「どうやら」付きではあるももの、あなたはアファーマティブに主張した訳だ。 繰り替えすが、あたなの脳内なんか知る由もない。 あなたが書いた文章を忠実に追いかけると、大いなる矛盾があるではないか。 あなたは意図的か、単なる不注意か知らんが、部分集合の体積が「どうやら」無限であると主張し、その舌の根も乾かぬうちに、その部分集合を包含する集合は無限でない可能性あると主張しているのですよ。 まあ、読者が、書かれた文章を適当に読むタイプの人間なら、あなたが書いた文章の誤謬を、読者として都合よく補正することも有ろうが、現時点で争点の一つとなっているのは、観測可能な宇宙と、そうでない宇宙（＝大宇宙とでも言っておこうか）の区別であるから、この点に関しては、貴方が書いた文章に厳密に従うのが礼儀作法と言うものであろう。 ここまで解説すれば、私が回答＃１８のお礼欄に書いた「私が理解できないこと」を理解できるであろう。 もうひとつ、ルール違反である「質問者による質問」に対して、寛容にも応答をしておこうと思う。 ＞あなたは齢いくつなのかね？ 好奇心年齢は5歳。 科学的・数学的理解力は18歳。 と理解してくれ。 ときに回答者の年齢は何歳かね？ これは質問者の補足質問だからルール違反にはなるまい。 日本語による論理的文章能力から判断すると16歳くらいかと思うが、どうだろうか。 日本語以外の表現手段ばかりに没頭してきた24歳ぐらいの理科系学者の玉子という可能性はあるとおもっておるよ。 くれぐれも、質問者である私が喧嘩を売っているなどと勘違いするなよ。 親切心で、あなた自信が書いた文章の解説をしただけだからね。
補足
申し訳ないが、下記のお礼コメントの文章に、タイポがありましたので訂正いたします。 誤）観測可能な宇宙で三角形の内角の和が押し並べて180°未満であれば、 正）観測可能な宇宙で三角形の内角の和が押し並べて180°以下であれば、
> 私は形而下（＝物理学）の話で、無限、または無限大の観測事実があるかに興味があります。 この質問は数学、まあ形而上といってよいと思うが、形而下ではないはずだがね。そのつもりで回答している。 > このスレッドの原質問からずれていて申し訳ありませんが、形而下（物理学）で無限の対象をご存知でしたらご教示いただけると有り難いです。 質問から外れることを補足で質問するのは、この掲示板のルールに抵触するはずだ。注意したまえ。 しかし、簡単に回答だけは差し上げておく。 無限は物理学では提唱されては解消されるという繰り返しがずっと起こってきている。宇宙（あなたの興味対象だったね）についても、最初は無限の過去から今のような宇宙であったとする定常宇宙論が何となく信じられていた。だからこそ、アインシュタインは一般相対性理論を作った後、重力方程式に静的な宇宙を可能にするための宇宙項を付け加えた。 ところが、宇宙の膨張が発見され、膨張を遡れば宇宙は一点から始まったのではないかというビッグバン説が出て来る。傍証が発見され、宇宙には有限の過去に誕生があったと、無限の過去からの定常宇宙論を事実上棄却した。 しかしビッグバン説では、宇宙の曲率がゼロ（平坦）、もしくは負なら体積は無限大になる。観測可能な宇宙の範囲ではどうやら曲率はゼロで、体積は無限大となる。もし観測可能な宇宙の外で曲率がプラスなら、宇宙が閉じている可能性があり、体積も有限となる。あなたがTVで見た通りだ。しかし、観測可能な宇宙の外でも曲率がゼロ、ないしは負である可能性も同等にあるね。 まだどちらとも言えないんだよ。宇宙の開始をもっと正確に記述するための理論、例えば量子重力理論がまだできていない。四つの力の統一も未達成だ。 ブラックホールについても、事象の地平面での無限（時間停止だが、数式的には時間項が無限に発散するということ）があり、当初は事象の地平面を特異点と呼ぶことがあった。しかし、変数変換により解消できることがわかり、ブラックホール内部まで連続的に記述できるようになった。今では中心部だけが特異点になっている。質量有限だが、体積ゼロのため、密度無限大の特異点だ。重力場の曲率が無限大になる。 密度無限大の特異点は古典物理学的には生じ、扱いようがない。そのため、特異点から何が出て来るかは物理学理論は予言できない。要はなんでもありということになる。事象の地平面を持たないむき出しの特異点があれば、宇宙全体で何が起こるか分からないということにもなる。そのため、特異点は必ず事象の地平面で覆われるという仮説をペンローズなどは提唱している。 ブラックホール自体が存在しないという説もある。事象の地平面が発生するまでに無限大の時間がかかるため（事象の地平面での時間停止とほぼ同義）、有限の時間しか経過していない宇宙では事象の地平面を持った段階のブラックホールはない。理論的には疑いようもない。 しかし、無限大の時間が経過したら、事象の地平面及び中心部の特異点は生じるのか。ブラックホールに観測者が落ちて行った場合、落ちていく観測者にとっては有限の時間で中心の特異点まで辿り着く（外界では無限大の時間が経過する）。 それもなさそうだというのが、ホーキング輻射によるブラックホールの消滅で、有限時間でブラックホール（事象の地平面がまだできていないもので可）は全質量をエネルギーとして放出し、消滅する。 しかし、あなたも知っているように距離や時間は最低の単位がある。プランク長さやプランク時間だね。もしブラックホールの収縮が、事象の地平面まであと1プランク長未満 だったとき、どうなるかは分かっていない。そんなミクロのことを扱える量子重力理論がまだできていないからだ。 もし、1プランク長さ未満になれば事象の地平面が露出するとなれば、事象の地平面も中心の特異点も有限時間で発生する。 あくまでも一例だが、こんな感じだ。形而下に無限の属性を持つものがある可能性はごまんとあるし、それらの無限性が棄却される可能性もまたある。「あるの？ ないの？」といった質問は、実は極めて愚昧なんだよ。あるんならあると言うだろうし、ないんならない（※ただし、ない証明は極めて難しい）と言うだろう。どっちとも言っていないのは、あるともないとも、どちらとも考えられるからなわけだ。 もし、どちらかに決めたいなら、あなたが研究者となって人類未踏の問題に結論を出すしかない。他の研究者が認めるかどうかは別問題だけどね。 P.S. 形而上のほう、つまり自然数の無限性については分かったのかね？ 形而上たる数学をベースに物理学は展開している。数学のほうが覚束ないのでは、物理を考えることはできないと思うんだがね。数学全部でなくともよいが基礎くらいは必要だよ。 必要な数学を理解する手間と時間が惜しいなら、トピックの解説を知るに留め、トピックをもとに何かを論じないようにすることだ。論じれば、ほぼ確実に間違うし、多少なりとも知っている人はドン引きする。
お礼
有難うございます。 私が理解したことを要約すると、 １．物理学では、現在までのところ、無限の値を取る物理量が観測されたことは無い。 ２．自然界（自然現象）の観測結果を良く記述する数式があり、これを弄ると、有る条件下では分母がゼロに近づくので、ひょっとして自然界で物理量が無限の値をとる場所、現象が存在する可能性は否定したくない。 ３．しかし、分母がゼロに近づくのは、観測できない（事象の水平面の向こう）世界のことであるから、想像する（形而上学）だけしかできない。 私が理解できないことを要約すると、 １．観測可能な宇宙の範囲ではどうやら曲率はゼロで、体積は無限大となる。ーーーその可能性があることは理解してます。 ２．にもかかわらず、観測可能な宇宙を部分集合として包含する、「もっと大きな何か」が有限である可能性を否定しない。ーーー１．が真なら、２．の可能性を否定しなくちゃアカンでしょ。 ３．つまり、物理学は、ド・モルガンの法則に反した主張をするのですか？
補足
下記のお礼欄の最後の行を修正します。 誤）３．つまり、物理学は、ド・モルガンの法則に反した主張をするのですか？ 正）３．つまり、先生は、部分集合が無限集合なのに、それを含む全体集合が無限集合でない可能性があると主張なさるのですか？
無限大になると見るや、無限大にならないよう、無意味な制限をかけた理由を聞いたのだが、無限大があると思いたくないという希望を述べるとはね。お子様の弁解なのだが、まあいい。その程度だと思って、期待しなければ済むことだ。 全ての自然数を数え上げで無限に付した集合に、新たに自然数を付した要素が入り込む余地がないはずという迷妄は解けたのかね？ もしそうでない場合を考慮して、以下に簡単な証明を与えておく。自然数を無限大まで列挙した集合に含まれない自然数が存在するというものだ。 自然数を1からとし（※0からにしないのは分かりやすさのためだけ、0からでも理屈は同じ）、無限大まで列挙したとする。分かりやすくするため、各自然数は無限桁で書くことにする。また、横書きのため、桁は右へ向かって大きくなるように書くので注意してもらいたい。 2進数表記での自然数の列挙は次のようになる。自然数を数え上げた集合だね。 １０００００００００００００００００… ０１００００００００００００００００… １１００００００００００００００００… ００１０００００００００００００００… １０１０００００００００００００００… １１１０００００００００００００００… ０００１００００００００００００００… １００１００００００００００００００… …（以下、無限に1ずつ増える）… 最初の「１０００…」の「１」から始め、斜め右下を辿って2進数を作ると、「１１０００…」という自然数になる。 こうして作った数で、0と1を反転させる。「００１１１…」という自然数が得られる。この自然数は、列挙して作った自然数の集合に含まれない。 なぜなら、この新たに作った「００１１１…」は1桁目は「１０００…＝１」の1桁目を01反転しているため等しくない。次の「０１００…＝２」についても、2桁目を01反転しているため等しくない。3つ目、4つ目でも同じことになる。新たに作った「００１１１…」は、列挙して作った自然数の集合の、どの自然数とも同じ理屈で等しくない。 つまり、自然数を1ずつ増やして、無限個集めた自然数の集合には、少なくとも1つは含まれていない自然数が存在する。含まれない自然数を新たに集合に要素として加えても、全く同じようにして01反転の自然数を作れば、その自然数は集合に含まれない自然数となる。 何度繰り返しても同じことになるのは分かるはずだ。つまり、自然数を列挙した集合に含まれない新たな自然数を作って、自然数を列挙した集合に要素として加える操作は無限に続けることが可能だ。別の言い方をすれば、無限個だけ数え上げた自然数の集合を作っても、その集合に含まれない自然数は無限個存在する。 無限大まで自然数を何かの要素（ホテルの部屋等）に付しても同じことだ。付した自然数に含まれない自然数が必ず存在してしまう以上、番号として付す新たな自然数があるため、新たな要素を無限に加え続けることができる。 注意したいのは、無限個まで数え上げた自然数の集合に新たに付け加えることができる自然数は無限大であるということだ。有限桁数の自然数ではない。 有限個の自然数、従ってどの自然数も有限、と限って考えれば、自然数を数え上げた集合には、欠けている自然数はない。当たり前だね。1からnまでの自然数の集合では、nをいくら大きくしても欠けた要素はなく、付け加えられる自然数はない。しかし、nを無限大に発散させると、上記のようなことが起きる。この現象自体は、先に説明した実無限でイメージするとよいかもしれない。 無限大を有限の単純な延長だと思い込んでしまうと、間違うこともあるわけだ。あなたが、無限個の集合の要素に自然数を対応させたら、もう自然数が残っていない、だから無限個の集合には新たな要素を付け加えることができない、といった誤解は、有限の単純な延長で無限を考えられると思ってしまっているせいだろうね。
お礼
有難うございました。 無限ホテルの建て増しの逸話は理解しているつもりです。 でも、これは形而上（＝数学）の話ですね。 私は形而下（＝物理学）の話で、無限、または無限大の観測事実があるかに興味があります。 このスレッドの原質問からずれていて申し訳ありませんが、形而下（物理学）で無限の対象をご存知でしたらご教示いただけると有り難いです。
補足
私が気づいた説明方法で無限ホテルの話を解説してみます。 もし私の解説（私の理解）に間違えがあればご指摘いただくと有り難いです。 １．無限ホテルでは、「3の整数倍」で部屋番号を振っていた。 ２．「3の整数倍」は無限にあるので、ホテルの部屋数とアレフ０の無限集合は全単射である。 ３．満室になった後に客がきたので、部屋番号を「5の整数倍」に書き換えた。 ４．「5の整数倍」というアレフ０の無限集合は「3の整数倍」と全単射であるから、全ての部屋番号を書き換える先（新しい部屋番号）が有る。 ５．新しい客は「3の整数倍」の部屋番号にチェックインさせた。 ６．やがて再び「3の整数倍」の部屋番号の部屋が満室なった（＝この部分が現実には起こり得ないという、疑問が残りますが、、、） ７．無限ホテルは、5より大きい素数＝7を選んで、「3の整数倍」の部屋番号を「7の整数倍」の部屋番号に書き換えた、、、。 ８．素数は無限にあるので、上記の「部屋番号書き換え作業」を無限に繰り返すことができる。
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「数学の専門でない素人」で、かつ、無限の扱いに不慣れな者の、それも戯言です。 その素人が、「自然数無限大個の客室のあるホテルがある。あるとき満室だったのに、お客さんが来た…」というハナシを聴くと、その客は「一見サン」つまり「無理数界」あたりから来た客だろう、と思ってしまう。 だとすれば、ホテルには詰め合わせて新客に客室を提供する余地なんぞありません。 これは、 >… 一般化することができずに、対象となる無限集合固有の性質によって異なる … という偏見の症例かも。 素人なので、数学の専門家が定義なさった自然数セットのような well defined な集合の要素個数 (濃度？) は増減しないはず、と信じてるからでしょう。 さらに「膨張する宇宙空間」のハナシまで土俵が広がると、要素個数に体積までからんできて、well defined な集合からは逸脱しそうで、数学者からは謝絶されそうな気配を感じます。 おあとがよろしいようで … 。
お礼
有難うございました。
お礼
ありがとうございました。