rankについての質問です。

質問

以下のようなことを示す問題なのですが、どうやって示したらいいかわかりません。
場合分けとかも必要なのでしょうか？
その場合どんなパターンが出てくるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan

ランクの定義にもよるかな? ここでは「行列式が 0 でないような r次小行列を持つ最大の r」としておきます.
(1) は rank A' ≦ rank A が自明なので
行列式が 0 でない r次正方行列において, 1行目を取り除いた行列の中には「行列式が 0 でない r-1次正方行列」が存在する
ことを示せば十分. でもってこれそのものは背理法を使えば一瞬.
(2) は (1) からすぐでしょう. 実例もわりと簡単.