数学 解の配置

質問

数学　解の配置
3次方程式f(x)=x^3-3ax-b=0の解のうち、少なくとも1つの解が区間-1<=x<=1に含まれる実数解であるための(a,b)の条件を図示せよ。

という問題があるのですが、

場合分けをするべき場所がよくわかりません。
f'(x)=3x^2-6axなので、まず、
(1)a=0
(2)0<a<1/2
(3)a=1/2
(4)a>1/2
の4パターンに場合分けし、
そのあと、
(2)のうち、解が３，２，１個で場合分け（2個、1個のところでさらに其々３種類、２種類に場合分け）
(3)のうち、解が２，１個で場合分け（１個のところで２つに場合分け）
(4)のうち、解が２，１個で場合分け

とやっていったのですが、出てきた答えがすごいことに…（それは置いといて、）

上記のところで、もっと場合分けが短くできる場所ってありませんか？また、上記ので欠陥はありませんか？解答がないので、正解不正解がそもそもわかりません。なので、場合分けさえ教えていただければあとは何とかできるのですが、だれかお願いします。m（-o-）m

回答No.5

muturajcp · ベストアンサー

-1≦x≦1　だから
-1≦x^3≦1
-3|a|≦-3ax≦3|a|
-1-3|a|-b≦x^3-3ax-b=0≦1+3|a|-b
(a,b)の条件は
-1-3|a|-b≦0≦1+3|a|-b
a≧0　の場合と　a<0　の場合に場合分けしてください

回答No.4

kMashiMash

ANo.3です。
しまった。a=0だと極は1つでした。失礼しました。

回答No.3

kMashiMash

f(x)=x^3-3ax-b = 0

y = x^3-3ax-b
と勝手に変数yをつくって縦軸をy、横軸をxにして頭の中で図を作ります。
（変数が2つ無いと図がつくれないからです。
抵抗あるなら縦軸をf(x)としてもいいと思いますが、3次元までは変数がx,y,zにするほうがなんとなくピンとくる気がするだけですｗ）

xで一回微分します(傾きの傾向を出したいからです）
f'(x)=3x^2 - 3a

右辺を整理します。
3x^2 - 3a = 3(x^2 - a) = 3(x - √a)(x + √a)

傾きの傾向を整理します。

aがどんな値か知りませんが,
xの値と例えば-100から右にみていくと、
- √aまで傾きが　＋（右肩上がり)です
- √aで極(傾きが０、x座標と水平）になります
+ √aまで傾きが　- (右肩下がり)です
+ √aで二つ目の極(傾きが０、x座標と水平）になります
+ √a以降は傾きがずっと　+　(右肩上がり)です

じゃあこの数式はaがどんな値でも、kがどんな値でも、極を２つ持つ数式ということがわかります。
極を意識して、aとbの値を入れてあげれば答えが出るはずです。
とくに、aの値をいじると２つある極の位置が変わります
ｂの値はプラスならグラフ全体を上にシフトさせます。
bの値がマイナスならグラフ全体を下にシフトさせます。

。。。ここまできて、解く気力が。。。
後は、他の人に教えてもらってください(汗)

回答No.2

kabaokaba

三次関数の場合はかならず実数解が一個あるから簡単．
(1) -1<x<1 の範囲に奇数個（1個か3個）の解がある
⇔f(-1)f(1)<0
(2) -1<x<1 の範囲に偶数個の解がある
(3) f(-1)=0またはf(1)=0の場合

(2)のケースだけ極大か極小のケースが絡むから
微分すればいい．
「(1)または(2)または(3)」が答えになる．
＃気になるなら重解のケースを慎重に考えてみればいい
＃重解を何個の解とみなすかということ．

===============
そもそもなんではじめからaで場合わけする必要がある？
その前に解の位置で分けるほうが妥当だと思う．

回答No.1

nbafreak

＞f'(x)=3x^2-6axなので
これって
f'(x)=3x^2-3aではないのですか？