領域の問題なんですが…

質問

x,yは不等式x^2+y^2≦1,y≧2xを満たすとする。このときx+yの最大値と最小値を求めよ。という問題なんですが…

詳しい解説をお願いします。

回答No.5

mister_moonlight

x^2+y^2≦1‥‥(1)、y≧2x　‥‥(2)　をxy平面上に図示する。
(1)の円の内部（周上を含む）、(2)の直線の上部（直線上を含む）となり、その交点はＡ（1/√5、2/√5）、Ｂ（-1/√5、－2/√5）である。
そこで、k＝x+yとすると、これは、y＝-x＋kの直線。‥‥(3)
従って、問題はy切片であるkの最大値と最小値を求めると良い。
傾きが　-1で固定されているから傾きを維持しながら上下すると。、最大値は点Ａを通るとき。
最小値は、円(1)と直線(3)が接する時。その値は、点と直線との距離の公式を使うと、即ち　直線(3)と原点（0、0）との距離が円(1)の半径1に一致する時である。
この時、k＝-√2であるから、最小値を与えるxとyの値は、x+y＝-√2と円(1)を連立して解けば良い。←　これ位は、自分でやって。
以上から、-√2≦k≦3/√5となる。

回答No.4

happy2bhardcore

この問題の場合、x+y=zとおいて、ｚの最大値、最小値を求めるのが定石です。

X + Y = Z
→ Y = Z - X
として

（１）
x^2+y^2≦1
→ x^2 + (z - x)^2 - 1≦ 0
→ 2x^2 -2zx + z^2 - 1≦ 0
→ 2(x - (1/2)z )^2 -1 ＋ (1/2)z^2 ≦ 0
→ x = (1/2)z のとき、最小値 -1 ＋ (1/2)z^2である、下に凸の放物線のグラフ

（２）
y≧2x
→ z -x ≧ 2x
→ z ≧ 3x
→ z = 3x の領域の上側（境界線を含む）

（１）、（２）のグラフを書いて、図から最小値、最大値を判断します。

回答No.3

Mr_Holland

まず、「不等式x^2+y^2≦1,y≧2x」で表される領域を図示してください。
　次に、ｘ＋ｙ＝ｋ　とおいて、上の図に、直線ｙ＝－ｘ＋ｋを表してください。
　この直線はｋ（ｙ切片）の値によって上下に移動します。
　このとき、最初に図示した領域を通る範囲で、最大のｋと最小のｋの値を求めればＯＫです。
　（つまり、直線ｙ＝－ｘ＋ｋが最も上にあるときと、最も下にあるときのことです。）

　すると、直線が最も上にあるときは点（１／√５、２／√５）を通り、最も下にあるときは点（－１／√２、－１／√２）を通ることが分かると思います。
　ここから、それぞれのｋの値が求められますが、それが最大値と最小値になります。

回答No.2

spring135

まずは領域x^2+y^2≦1,y≧2xを図示できましたか。次に直線ｋ＝x+yを、ｋの値を変えながら何本も書いてみます。
問題は領域を通る直線の中でｋが最大になるものを探せということを要求しています。
意味がわかれば難しいものではありません。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

(1)領域を図示する。
(2)x+y=kとおく。
(3)(2)で表される直線と(1)の領域が共有点を持つkの範囲を調べる。

円に接するときには、判別式か、点と直線との距離を利用。