数学2 円

質問

画像の問題の解き方が全くといっていいほど、分かりません。分かりやすく教えて下さると大変助かります。お願いします。

問題は
x,yが不等式x^2＋y^2≦5,y≧2xを同時に満たすとき、2y-xのとる値の最大値、最小値を求めよ。

回答No.2

kdmsn35 · ベストアンサー

数学では、最大値、最小値を求める問題がよく出ますね。
私も初めて見た時、どうやって解いたらよいか見当がつかず困ったのを思い出します。
参考書や教科書の例題等を何度も見て解き方を学んだものでした。
画像のような問題は確か高校１年の頃に習ったような気がします。
今から何十年も前になりますが、、、、
遠い記憶を辿りながら書いてみます。

（１）自分でも、図を大きく描いて、交点などの座標を書き入れてみるとよいですね。
　　　式がうまく書けませんので、画像の式で確認しながら、見て下さい。

（２）まず、x^2＋y^2＝5　は、半径√5の円で、
　　　　　 　y＝2x　　　　は、原点を通る傾き２の直線。
　　　この円と直線の交点のX座標は、この連立方程式を解いて、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　x^2＋(2X)^2＝5　より、X＝±１ となる。
　　　したがって、交点をA,Bとおくと、A(-1,-2)、B(1,2)となる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（３）次に、 x^2＋y^2≦5　は、円の内側を表しています。
　　　　　 　y≧2x　　　　は、直線の上側を表しています。
　　　従って、x^2＋y^2≦5, y≧2x を同時に満たす(x,y)の範囲は、画像の斜線部分です。

（４）つまり、「(x,y)の範囲が、画像の斜線部分」という条件のもとで、
　　　　　　　　2y-x のとる値の最大値、最小値を求めよ、ということです。

（５）そこで、2y-x＝K とおいてみます。
　　　この式を変形すると、ｙ＝(1/2)X+(1/2)K となり、
　　　これは、傾き　1/2 、y軸との交点のy座標が　(1/2)K、の直線ですね。

（６）この直線をいろいろ描いてみて下さい。
　 　　直線が上に行く程、y軸との交点のy座標｛すなわち(1/2)K｝の値は大きくなります。
逆に、直線が下に行く程、y軸との交点のy座標｛すなわち(1/2)K｝の値は小さくなります。

（７）ただし、「(x,y)の範囲が、画像の斜線部分」という条件がありますから、
　　 　この直線が、画像の斜線部分を通る範囲で考えなければなりません。

（８）その範囲で、y軸との交点のy座標が最大になるのは、この直線が円に接する時です。
　　　 また、　　y軸との交点のy座標が最小になるのは、この直線が交点Aを通る時です。
　　 　画像の２つの点線になりますね。

（９）さて、ここからの解き方は他にもありそうですが、筆者は次のように解いています。
　 　接点を P とおくと、
　 「直線が円に接する場合」＝直線は、０ P　と垂直になる
　　　　　　　　　　 　　　＝直線と、原点 ０ 、との距離は、円の半径　に等しい

（１０）さて、ここで、筆者は、
　　　「直線と、原点 ０ 、との距離」を、 公式を用いてさらりと表しています。
一般に、
「直線：ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ と原点Ｏとの距離は、(絶対値 c) /ルート(a^2+b^2 ) になる」
　　　（式がうまく書けませんので、http://manapedia.jp/text/649　を見て下さい。）

（１１） 直線：ｙ＝(1/2)X+(1/2)K 、これを変形して、ｘ－２ｙ＋K＝０
　　　　この直線と原点０との距離は、(絶対値 K) /ルート{1^2+(-2)^2} となります。
　　　　これが、円の半径（√5）に等しい、から

（１２） Kが最大になるのは、「直線が円に接する場合」で、その時
　　　　　　(絶対値 K) /ルート{1^2+(-2)^2}＝√5　という式が成り立ちます。
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　（画像の式で確認してみて下さい）
　　　　　　これを解いてｋを求め、その時の(x,y)を求めてみて下さい。

(13) 最後に、Kが最小になるのは、直線:ｙ＝(1/2)X+(1/2)K が,交点A(-1,-2)を通る時だから、
　　　　 　　直線の式に(-1,-2)を代入すればｋが求められますね。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

f272

あなたが貼り付けてた写真に書いてあるとおりです。
ゆっくりと読んで下さい。

お礼

はい。分かりました。