関数の最大、最小の問題で

質問

0≦x≦1,0≦y≦1のとき、(x+y-1)^2+(x-y+1)^2の最大値、最小値を求めよという問題が分からないので解説お願いします。解説がないので困っています

回答No.5

info222_ · ベストアンサー

f(x,y)=(x+y-1)^2+(x-y+1)^2=2x^2+2(y-1)^2≧0
x=0,y=1のとき f(x,y)の最小値f(0,1)=0
x=0,y=1は　0≦x≦1,0≦y≦1　を満たす。

次にf (x,y) の最大値を求める。
ステップ1）
0≦y≦1のとき　yを固定して xを　0≦x≦1 の範囲で変化させたときのf (x,y)の最大値を求める。
　dｆ (x,y)/dx=4x≧0 (0≦x≦1)
　ｆ (x,y)は0≦x≦1で単調増加関数であるから
　0≦x≦1でxを変化させたときのf (x,y)の最大値は
　f (1,y) =2+2(y-1)^2 である。

ステップ2)
yを0≦y≦1で yを変化させたときの f (1,y)の最大値を求める。
　d f (1,y)/dy=4(y-1)≦0 (0≦y≦1)
　0≦y≦1で f (1,y) は単調減少関数であるから　
　0≦y≦1でyを変化させたときのf (1,y)の最大値は
　f (1,0) =2+2(0-1)^2=4 である。

以上から, x=1,y=0のとき　f (x,y)の最大値はf (1,0)=4

(答)　最小値=0 (x=0,y=1のとき), 最大値=4 (x=1, y=0のとき)

お礼

回答ありがとうございました(^^)わかりやすかったです。

回答No.6

heno_moheiji

解法はいくつもある。

その(1)
Ｐ＝(x+y-1)^2+(x-y+1)^2＝展開する＝2(x＾2+y＾2－2y＋1)
従って、Ｐ/2＝x＾2＋(y－1)＾2となる。
条件より、0≦x≦1,0≦y≦1　だから、0≦x＾2≦1,0≦y≦1　→　0≦(y－1)＾2≦1
つまり、0≦x＾2＋(y－1)＾2≦2だから、0≦Ｐ/2≦2だから、0≦Ｐ≦4

その(2)
x+y-1＝α、x-y+1＝βとする。
和と差を作ると、2x＝α＋β、2y＝α－β＋2
これを、0≦x≦1,0≦y≦1に代入すると、0≦α＋β≦2、0≦α－β＋2≦2　‥‥(1)
r＝(x+y-1)^2+(x-y+1)^2＝α＾2＋β＾2　‥‥(2)とすると、(1)の条件で最大値、最小値を求める事になる。
(1)をαβ平面上に図示すると、4点(0、0)、(1、1)、(0、2)、(－1、1)で作る四角形の内部と周上。
その領域に対して、円(2)の値域を定める。
・最大値‥‥点(0、2)を通るとき
・最小値‥‥点(0、0)を通るとき

お礼

解放はいくつもあるんですね！両方ともやってみます！ありがとうございました

回答No.4

spring135

>0≦x≦1,0≦y≦1のとき、(x+y-1)^2+(x-y+1)^2の最大値、最小値を求めよ。

xy平面において0≦x≦1,0≦y≦1の範囲を図示し

u=x+y, v=x-y

の取りうる範囲を求めるとこれらを直線、u,vを切片とみて

0≦u≦2, -1≦v≦1

となる。この範囲において

z=(x+y-1)^2+(x-y+1)^2=(u-1)^2+(v+1)^2

の取りうる値の範囲を求めればよい。

(u-1)^2+(v+1)^2=zはuv平面における中心が点(1,-1),半径が√zの円とみなすことができ、半径の最大値、最小値を求めればよい。

図を書けば明らかなようにz=0(中心が領域の境界上にある)が最小、

領域の角の点(0,1)を通るときz=5となり、これが最大値。

お礼

回答ありがとうございます、やってみます！

回答No.3

mshr1962

(x+y-1)^2+(x-y+1)^2 = {x+(y-1)}^2+{x-(y-1)}^2

↓y-1=zとして

(x+z)^2+(x-z)^2 = (x^2+2xz+z^2)+(x^2-2xz+z^2) = 2(x^2+z^2)

↓0≦y≦1　だから　-1≦z≦0

0～1、-1～0の2乗は0～1になるので

2(x^2+z^2)の最小値はx=0,z=0の時の0
2(x^2+z^2)の最大値はx=1,z=-1の時の2

お礼

わかりやすかったです！回答ありがとうございました(^^)

回答No.2

Tacosan

その条件を満たす点の, (0, 1) からの距離の最大値・最小値はそれぞれいくつ?

回答No.1

asuncion

0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1より、
0 ≦ x + y ≦ 2, -1 ≦ x + y - 1 ≦ 1
-1～+1の数を2乗したとき、最小値は0, 最大値は1
0 ≦ (x + y - 1)^2 ≦ 1

0 ≦ x ≦ 1, -1 ≦ -y ≦ 0より、
-1 ≦ x - y ≦ 1, 0 ≦ x - y + 1 ≦ 2
0～2の数を2乗したとき、最小値は0, 最大値は4
0 ≦ (x - y + 1)^2 ≦ 4

∴0 ≦ (x + y - 1)^2 + (x - y + 1)^2 ≦ 5

きっと間違ってるんだろうな…

お礼

回答ありがとうございました！