極限

質問

連続投稿失礼します。
解決すべきものが多くて困ってます

n→∞のとき{1-(tanθ)^n}/n
のtanθ>1のときの値がどうしても出せません。
教えてください

ちなみに自分では
分子分母に{1+(tanθ)^n}をかけて{1-(tanθ)^2n}/n{1+(tanθ)^n}で
やってみましたがうまく不定形を解除できませんでした

回答No.1

orcus0930 · ベストアンサー

tan(θ) > 1　なので、
= 1 + r (r > 0)みたいに書き換えられます。

2項定理を用いて、(1+r)^nを展開すると、
1 + n * r + n(n-1)/2 * r~2 + … + r^n
とできるので、

{1 - (1 + r)^n}/n
= {1 - (1 + n * r + n(n-1)/2 * r~2 + … + r^n)}/n
=-(n * r + n(n-1)/2 * r~2 + … + r^n)/n
=-(r + (n-1)/2 * r~2 + … r^n/n)
とできるので、－∞に発散することがわかります。
今回、nを整数としましたが、nを実数に拡張しても、nより小さい整数の中で最大の整数をmとして挟み撃ちを用いれば同様の結論が得られます。