微分積分の問題です。実数列｛an｝は、単調増加で上

質問

微分積分の問題です。実数列｛an｝は、単調増加で上に有界であるものとする。...

実数列｛an｝は、単調増加で上に有界であるものとする。この｛an｝の上限をαで表す。したがって、

・任意の自然数nに対してan ≦ αが成り立ち、
・任意の自然数eに対してaN ＞ α-e となる自然数Nが存在する。

以下の3つの設問に答えよ。
(1)数列｛an｝の極限値はαであること、すなわち、任意の整数eに対し、n > Nのときには|an-α| < e となる自然数Nが存在することを示せ。
(2)数列｛an｝は、an = 1 - 1/n であれば単調増加で上に有界となることを示せ。
(3)設問(2)で与えた数列｛an｝の極限値αを求めよ。このαに対し、n > N のときに|an-α| ＜ 0.001を満たす最小の自然数Nを計算せよ。

この問題の解説をどなたかよろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

・任意の自然数nに対してan ≦ αが成り立ち、
・任意の自然数eに対してaN>α-e となる自然数Nが存在する。
はαが{an}の上限である事の必要条件だけれども十分条件ではありません。
例)
an=(1/2)-(1/n)
α=1
とすると
任意の自然数eに対して
e≧1
e-(1/2)≧1/2>0
N>2≧1/{e-(1/2)}となる
自然数Nが存在する。
e-(1/2)>1/N
aN=(1/2)-(1/N)>1-e となる
自然数Nが存在する。
an=(1/2)-(1/n)の上限(最小上界)は1/2だから
1はan=(1/2)-(1/n)の上限(最小上界)でない

・任意の自然数nに対してan ≦ αが成り立ち、
・任意の正実数e>0に対してaN > α-e となる自然数Nが存在する。
がαが{an}の上限である事の必要十分条件です。

(1)
数列{an}の極限値はαであるとき
任意の整数eに対し、n > Nのときには|an-α| < e となる自然数Nが存在しません
e=-1のとき常に|an-α|>-1=eとなるから「任意の整数e」は誤りです。

任意の正実数e>0に対し、n > Nのときには|an-α| < e となる自然数Nが存在すること
が数列{an}の極限値はαであることの定義です。

αが{an}の上限だから
任意の正実数e>0に対してaN>α-eとなる自然数Nが存在する。
n>Nのときには{an}が単調増加だからan>aN
α-e<aN<an≦α
α-e<an≦α
α-an<e,0≦α-an
0≦α-an<e
∴
|an-α|=α-an<e

(2)
自然数n,mに対して
n<mのとき両辺をmnで割ると
1/m<1/n
両辺に1-1/n-1/mを加えると
1-1/n<1-1/m<1
an<am<1
1は{an}の上界
∴
{an}は単調増加で上に有界

(3)
任意の正実数e>0に対して
N>1/eとなる自然数Nが存在する
n>Nとなる任意の自然数nに対して
|an-1|=|1-1/n-1|=1/n<1/N<e
だから
∴
α=lim_{n→∞}an=1

e=0.001とすると
N≧1/e=1/0.001=1000
N≧1000
n>N=1000
|an-1|=|1-1/n-1|=1/n<1/N=0.001
だから
N=1000

回答No.1

alice_44

(1) これが本当に解らないんですか？
問題の仮定から、n＞N のとき α≧an＞aN＞α-e ですが、
これを |an-α|<e と見比べて、何か感じませんか。

(2) 「単調増加」と「上に有界」の意味を確認してください。
n>m のとき an>am であることと、
任意の n に対して an≦β となる β があること
を示せばよいです。β は、具体的にひとつ挙げれば十分です。
β は、上界のひとつであれば、上限でなくて構いません。

(3) 今回は、上限 α を挙げなければならないのですが…
論証の細部は別として、α=1 であることは、普通、判りますよね？
ここは、直感で見つけないと。

不等式 |(1-1/n)-1|＜0.001 を解くのは、難しくないと思います。