部分数列と有界

質問

こんにちは。
「数列(An)が有界でない⇔すべてのk（自然数）について|Ａnk|>=kである部分数列｛Ａnk｝が存在する」を示す問題です。
＜考え方と解答＞
・Ａ＝数列{An}が有界でない
・Ｂ＝すべてのk（自然数）について、|Ａnk|>=kである部分数列{An}が存在する
論理の対偶を示す。
・Ａでない＝数列{An}が有界である
・Ｂでない＝あるK（自然数）について、どんな部分列Ａnkをとっても|Ａnk|<kとなるｋが存在する

"Ｂでない→Ａでない"
つまり「あるK（自然数）について、どんな部分列Ａnkをとっても|Ａnk|<kとなるｋが存在するならば数列{An}が有界である」を示す。
（証明）
あるK（自然数）について、どんな部分列Ａnkをとっても|Ａnk|<kとなるｋが存在すると仮定すると、
　　（　(1)　）
すべてのＡnkに対して、|Ａnk|<Ｍとなる正の定数Ｍが存在するので、数列{An}が有界である。Ｑ．Ｅ．Ｄ．

"Ａでない→Ｂでない"
つまり「数列{An}が有界であるならば、あるK（自然数）について、どんな部分列Ａnkをとっても|Ａnk|<kとなるｋが存在する」を示す。
（証明）
数列{An}が有界であるならば、すべてのｎについて、、|Ａn|<Ｍとなる正の定数Ｍが存在するので、
　　（　(2)　）
あるK（自然数）について、どんな部分列Ａnkをとっても|Ａnk|<kとなるｋが存在する。Ｑ．Ｅ．Ｄ．

以上より必要十分が示せた。

＜質問＞
（１）(1)と(2)に何か言葉を入れるべきでしょうか？？いきなり答えを言っているような気がしています。
（２）この対偶をとっての解答で間違っている所はありますか？？
前に質問させてもらい、考えてもう一度書かせてもらいました。
アドバイスお願いします！！！

回答No.1

funoe · ベストアンサー

>(1)と(2)に何か言葉を入れるべきでしょうか

（１）、（２）に言葉を入れないで回答とするなら、まぁ、０点でしょう。

>この対偶をとっての解答で間違っている所はありますか
　「左から右」を示すのに対偶「Ｂでない→Ａでない」を示すのは
　まちがっちゃいないですけど、センス悪ぅって感じです。
　実際、空欄(1)に、相当多くのことを記述しないと完成しないんじゃないでしょうか？

　「右から左」をを示すのに対偶「Ａでない→Ｂでない」を示すのは
　やっぱり、センス良いとは思いません。対偶をとって証明することも容易ですが、
　直接書き下したほうが早いと思います。

*)以下のサンプル記述では、Ａｎの部分列をＢｎとしています。
－－－－－－
Ａ⇒Ｂを示す。

数列(An)が有界でない
⇒
任意のＭに対して、Ｍ<|Ａn|　となるｎ番目の項がある
⇒
自然数ｉに対して、ｉ<|Ａn|　となるｎ番目の項がある
⇒
　１＜|Ａn|　となる最初のＡｎは存在し、これをＢ１とする。
　このＡｎ以降の項で、
　２＜|Ａn|　となる最初のＡｎは存在し、これをＢ２とする。
　このＡｎ以降の項で、
　３＜|Ａn|　となる最初のＡｎは存在し、これをＢ３とする。　
　　・・・
　と構成すれば、Ｂｎは、Ａｎの部分列で題意を満たす。

－－－－－－
Ｂ⇒Ａを示す。

すべてのk（自然数）について|Ｂｎ|>=kである部分数列｛Ｂｎ｝が存在する
⇒
任意のＭに対し、Ｍ＜ｋとなる自然数ｋを選ぶと、あるＡｎの部分列ＢｎのＢｋ
について、|Ｂｋ|>=k＞Ｍ
Ｂｋに対応するＡｎの項をＡｉとすると、Ｍ＜|Ａｉ|
従って、Ａｎは有界でない。

－－－－（参考）－－
Ａでない⇒Ｂでないを示す。

数列(An)が有界
⇒
ある自然数ｋが存在し、任意のｎに対し、|Ａn|＜ｋ
⇒
どのようなＡｎの部分列Ｂｎについても、そのｋ番目の項に対し
　|Ｂｋ|＜ｋ　となる。

すなわち、
すべてのk（自然数）について|Ｂｎ|>=kである部分数列｛Ｂｎ｝は存在しない。