数列 不等式 証明

質問

相異なるn個の実数a1,a2,a3,・・・,anが不等式a1-a2＞a2-a3＞・・・＞a(n-1)-an＞an-a1(n≧3)をみたすならn個の実数のうちa1が最大であることを証明せよ

a1-a2、a2-a3、・・・、a(n-1)-an、an-a1は単調減少数列でどれも0でなく和が0であるからa(k-1)-ak＞0＞ak-a(k+1)を満たす自然数kがあるらしいのですが、なぜそうなるのでしょうか？
また、a2＜(a1+a3)/2＜max(a1,a3)とあるのですが、max(a1,a3)とはなんでしょうか？最大値ではないですよね

どういうことなのか教えてください

回答No.5

ereserve67

下記と全く同じ問題です．

http://okwave.jp/qa/q7767045.html

お礼

参考にします
ありがとうございました

回答No.4

genshisyounen

No.3の回答ですが、訂正箇所があります。
２行目と11行目の「どこかで０になり」を「どこかで０を通過し」に訂正します。

お礼

了解しました

回答No.3

genshisyounen

「a(k-1)-ak＞0＞ak-a(k+1)を満たす自然数kがある」ということの意味は、「a1-a2、a2-a3、・・・、a(n-1)-an、an-a1という数列が、a1-a2（必ず正の値）から順に小さくなっていき、どこかで０になり、最後のan-a1は必ず負の値になっている」ということです。
和が0（a1-a2+a2-a3+・・・+a(n-1)-an+an-a1=0）になることは、わかりますよね。
また、a1-a2＞a2-a3＞・・・＞a(n-1)-an＞an-a1の関係がなりたつことから、a1-a2,a2-a3,・・・a(n-1)-an,an-a1のすべての値が０ということはありえません。
仮に、a1-a2＞a2-a3＞・・・＞a(n-1)-an＞an-a1のすべての値が正の値だとすると、それを合計した値は必ず正の値になり、合計が０になることと矛盾します。
仮に、a1-a2＞a2-a3＞・・・＞a(n-1)-an＞an-a1のすべての値が負の値だとすると、それを合計した値は必ず負の値になり、合計が０になることと矛盾します。
つまり、a1-a2、a2-a3、・・・、a(n-1)-an、an-a1という数列は、正の値から順に小さくなっていき、どこかで０になり、最後は必ず負の値になっていることがわかります。

a2＜(a1+a3)/2＜max(a1,a3)
max()は、（）の中の数字で最大のものを選ぶ関数で、max(a1,a3)は、a1,a3のうち大きいほうの数になります。
a1-a2＞a2-a3を変形すると、a2＜(a1+a3)/2になることはわかると思います。
a1≠a3であり、(a1+a3)/2は２つの数の平均なので、平均値は大きいほうの数より小さく、(a1+a3)/2＜max(a1,a3)になります。

お礼

なるほど分かりやすかったです
ありがとうございました

回答No.2

Tacosan

前半: そ～いう k がないとしたらどうなります?

お礼

すみません解決しました
ありがとうございました

補足

a(k-1)-ak≦ak-a(k+1)となって成り立たないです
ただ間の0はなんなのでしょうか？

回答No.1

FEX2053

a2＜(a1+a3)/2＜max(a1,a3)

日本語で言えば

１．「a2」より「a1とa3の平均値の方が大きい」
２．「a1とa3の平均値より、a1とa3の大きい方が大きい」

max(a1,a3)は「a1とa3のおっきいほう」ってことです。

ちなみに、１．は与式から簡単に判りますよね。

お礼

そういう意味だったんですね
ありがとうございました