数学の命題（距離空間の集合）

質問

数学の質問です。次の命題を証明してください。

距離空間の勝手な開集合は（無限個も含め）いくつかの開円板の和集合として表せる．

よろしくお願いします．

回答No.3

arrysthmia

「いくつかの」というのが、えらく微妙な言い方ですが…
これを、使う開円盤の個数は無制限だと受け取って良いなら、
対象とする開集合の全ての点について、それを中心として
半径が 0 ではない円盤を ∪ すればよいだけです。
「いくつかの」が、有限や可算を意味する場合は、
対象とできる開集合に制限がついてしまい、「勝手な」になりません。

回答No.2

rabbit_cat

そういう性質を「開基」と言いますが、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93#.E9.96.8B.E5.9F.BA.E3.81.A8.E6.BA.96.E9.96.8B.E5.9F.BA
まあ、証明は、単純に言えば、集合に含まれる全ての点について、ある近傍が集合に含まれるはずなんで、それをみんな集めてくればよい、ってことです。

回答No.1

33550336

距離空間の開集合の定義から明らかでは…？
定義がいろいろある可能性もあるので補足欄にあなたの思っている距離空間の開集合の定義をお願いします。

補足

回答ありがとうございます．

大学の講義でのレポートの問題なのですが，多分当たり前のことをきちんと証明させるのが目的のレポートだと思います．自分でもそう思ってはいるのですが，うまく書けなくて…ご相談する形をとりました．

距離空間の開集合の定義は，講義中では
∀x∈A　∃r＞0　U(x,r)⊂A
※U(a,r)　は　aを中心とした半径rの開円板
とされていました．