距離空間についての問題です。

質問

距離空間についての問題です。

(A,d) を距離空間とし、B⊂A をコンパクト集合とする。１点b∈￢B に対し、次の３つの条件をみたす開集合 U,V が存在することを証明しなさい。( b は B の元ではないという意味です)

B⊂U, b∈V ,U∩V＝φ

この証明問題が解けずに困っています。

よろしければ回答よろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

大して難しくない

Bの点xをとる
bとxは異なる点で，距離空間はハウスドルフだから
bとxの開近傍Ub(x)とV(x)で交わらないものがある
このとき,　
{V(x)}_{xはBの点}はBの開被覆だから
Bのコンパクト性よりBの有限個の点{x1,x2,..,xn}があって
B⊂V(x1)∪・・・V(xn)
そこで
U=V(x1)∪・・・V(xn)
V=Ub(x1)∩・・・∩Ub(xn)
とすればいい

記号の整理と証明の穴埋めは自分でやること

回答No.2

boiseweb

距離空間であることを露骨に利用すると，こんなふうにも解けます．
まず，Bが閉集合であることから，inf { d(b,x) | x∈B } > 0 が成り立つことを示します．
inf { d(b,x) | x∈B } をεとおいて，B,b それぞれの(ε/3)-開近傍を U,V とすればできあがり．

距離空間なんだからT3分離公理（などといわず，あらゆる分離公理）をみたすわけで，Bはコンパクトでなくても閉集合で十分です．
No.1さんの回答は，距離空間でなくてもハウスドルフ空間で成立する論法になっています（その場合はコンパクト性が必要）．
どちらにしても，問題では必要以上に強い仮定を置いていることになります．