締切済み 開集合と閉集合の補集合についての証明 2009/06/17 22:49 開集合の補集合は閉集合、閉集合の補集合は開集合とありますが、これをわかりやすく証明していただけませんか? みんなの回答 (3) 専門家の回答 みんなの回答 arrysthmia ベストアンサー率38% (442/1154) 2009/06/18 10:11 回答No.3 ←No.1 補足 それでいいんですよ。 開集合の補集合を閉集合と定義すると、 閉集合の補集合が開集合であることは 容易に証明できます。 やってみて下さい。 位相論の多くの教科書は、 開集合を公理的に定義した後、 閉集合は開集合の補集合で定義しています。 貴方のスタイルですね。 逆に、閉集合を公理的に定義した後、 開集合を閉集合の補集合で定義しても良い。 こちらのスタイルを採る本も(少数ですが) あります。 論理的には、等価ですから。 質問者 お礼 2009/06/18 15:23 そうなんですか! ありがとうございました! 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 koko_u_u ベストアンサー率18% (216/1139) 2009/06/17 23:39 回答No.2 >こうしてしまうと証明にならないのではないでしょうか? そうです。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 koko_u_u ベストアンサー率18% (216/1139) 2009/06/17 23:04 回答No.1 じゃあ、開集合と閉集合の定義を補足にどうぞ。 質問者 補足 2009/06/17 23:11 定義:閉集合とは開集合の補集合のことである と書いてありますが、こうしてしまうと証明にならないのではないでしょうか? 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 空集合は開集合であることの証明が納得できません X は距離空間とする。 部分集合 U ⊂ X について,U のどの点をとっても,正数 ε が存在して,Bε(x) ⊂ U が成立するとき,U は開集合であるという。 このとき次の定理とその証明が書いてありました。 (i) X 自身および空集合は開集合である. (ii) 有限個の開集合 U1, ..., Un の共通部分 U1∩・・・∩ Un は開集合である. (iii) 開集合の族 Uλ (λ ∈ Λ) について,和集合 ∪(λ∈Λ) Uλ は開集合である. 証明 (i) X が開集合であることは明らかである.空集合については,属する点がないのであるから,開集合の条件を満たしていると考えることができる. (ii) 任意の点 x ∈ U1∩ ・・・∩ Un をとると,各 i について,x ∈ Ui である.したがって,正数 εi が存在して,Bεi(x) ⊂ Ui となる.そこで,ε = mini { εi } とおけば,Bε(x) ⊂ U1∩・・・∩ Un となり,U1∩・・・∩ Un が開集合であることがわかる. (iii) 任意の点 x ∈ ∪(λ∈Λ)Uλ をとれば,ある λ があって,x ∈ Uλ となる.このとき,ある正数 ε が存在して,Bε(x) ⊂ Uλ⊂ ∪λ∈ΛUλ となるので,∪(λ∈Λ)Uλ は開集合である. ---------------------------------- 上記の証明において、 空集合は開集合であることの証明が納得できません。 空集合は開集合であることは、開集合の定義の前提条件が成り立たなくて、偽なので、全体としては真になるのでしょうか? それとも、空集合は開集合であるというのは、定義にすべきことがらなのでしょうか? できれば論理的に詳しくお願いいたします。 開集合 開集合は可算個の開区間の和で書けることの証明が知りたい のですがどなたか式を使って示してもらえないでしょうか 開集合系、開集合について Ox:={D⊂X:Dは開集合} これ(Ox)は開集合系と言うんですか? 例えばΦ⊂Oxとは、ΦはΦ⊂Xで、かつ開集合となっているという意味ですか? 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた? OKWAVE コラム 開集合でもあり閉集合でもある集合 (-∞, √2) は有理数上で、開集合でもあり閉集合でもある、と聞きました。 開集合というのは分かります。 たとえば、√2 付近で微少の数αを足して、この集合になるようなαは絶対にあるからです。 なぜ、閉集合なのでしょうか? 開集合・閉集合 二つのことがわからないので、質問しました。 (1)実数全体は開集合ですか?それとも閉集合ですか? (2)(1、無限大)は開集合ですか?閉集合ですか? 内点、集積点を考えなければならないと思うのですが、いまいち、ピンときません。 開集合と閉集合。 次の集合はR^2で開集合か閉集合であるか理由を述べて答えよ。 (1){(x,y)∈R^2:x^2-y^2=1} (2){(x,y)∈R^2:|x|+|y|<1} (3){(x,y)∈R^2:1<4x^2+2y^2≦2} (1)は閉集合(2)は開集合だと思うのですがどう証明すれば良いか分かりません。 (3)はグラフがどうなるのかも分かりません汗 連投すいませんが分かる方お願いします! 開集合について R×Rの開集合は(R^2,ρR^2)の開集合であることを示せ. 上記の問題の解き方について教えていただけませんでしょうか. よろしくお願いします. 解析学:開集合についてです。 解析学:連続写像の部分集合の話です。 ・実数R^nで作られた開集合の任意の個数の和集合は開集合になります。 ・開集合を有限個集めたときの共通部分も開集合となります。 ・しかし,開集合を無限個集めた時の共通部分は,必ずしも開集合になるとはかぎらないようなのですが,そのような例とはどのようなものなのでしょうか。 反例を提示していただけるかたいらっしゃいましたらよろしくお願いします。 http://ja.wikipedia.org/wiki/開集合 の性質(2)です。 開集合 a=(a1,a2,…,an)がR^nに含まれδ>0のとき Bδ(a)={x;||x-a||<δ} は開集合であることを示せ。 この問題なんですけど 与式=Dとすると点aのδ近傍はDに含まれるので点aはDの内点で任意の点なのでDは開集合である で合ってますか?あんま自信ないもんで…間違っていたらご教授願います。 開集合の定義が分かりません VをRの部分集合とおく。 0に限りなく近いが0じゃない非負の値をαとする。 Vに含まれる任意の元xに対して、 0<ε=αとおくとxのα-開近傍={y∈R|d(x, y)<α}=x∈V⊂V よってVは開集合なのだと思うのですがV=[0, 1]でも成り立つと思います。 開集合の定義を具体的に教えてくれませんか? 開集合であるかの判定 次のR ^2 の部分集合は開集合かどうかがいまいちわかりません。開集合かどうかということと、その理由を記していただけたら助かります。 A= { (x , y) ∈R ^2 | x ^2 + y ^2 ≧1 } B= { (x , y) ∈R ^2 | 0 < x ^2 + y ^2 < 1 } C= { (x , y) ∈R ^2 | x ^2 - y ^2 >1 } 集合 質問で、ベクトル の長さを与える写像|| ||: R2 → [0;∞)のとき (1) || ||によるR2 の開集合の像は[0;∞)の開集合である (2) || ||によるR2 の閉集合の像は[0;∞)の閉集合である の証明が分かりません。 どなたか回答お願いします 日本史の転換点?:赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 証明 たびたびすいません 質問で、ベクトル の長さを与える写像|| ||: R2 → [0;∞)のとき (1) || ||によるR2 の開集合の像は[0;∞)の開集合である (2) || ||によるR2 の閉集合の像は[0;∞)の閉集合である の証明をどうやったらいいか教えてもらえますか? 開被覆はいつでも存在するのでしょうか? コンパクト性の証明で「*を開被覆とする」というのがよくでてきます.(開被覆をとって,それが有限部分被覆をもつことを証明する) どうしてそんなものをとれるのかがわかりません. そのときに,(任意の)開被覆をとることができるのは,全空間Xも開集合だから最低1つは存在するから開被覆をとることができると考えていいのですか? よろしくお願いいたします. 位相(開集合を示す問題です) 問 (X,d)を距離空間とする。 r>0、x₀∊X、Br(x₀):={y∊X|d(y,x₀)<r}と置く。 このとき、Br(x₀)は開集合であることを示せ。 開集合を示すから、Br(x₀)の要素aを任意に取ることをかんがえましたが、そのあとの解答の筋道、方針が分りません。ご教授願います。 開集合がコンパクトでない理由 コンパクトとは、有限と無限に関するもの(有界閉集合)である ことは何となく分かっているつもりです。 しかし、開集合がコンパクトでない理由がいまいち分かりません。 たとえば、よく教科書に掲載されている例として 開区間(-1,1)を、Xn=(-n/(n+1),n/(n+1)) (n∈N) ※Nは自然数全体 で覆うというものがあり、これは有限部分被覆を持たないというものです。 でも、Xnの最後は(-1,1)なので、この一つをとりだせば それだけで有限被覆となると思います。 この矛盾はどこから来るのか分かりません。 どなたか、ご教授ねがいます。 開近傍とは? Xが空間でxがXの点で、Xの部分集合Uがxを含む開集合であるとき Uはxの開近傍であるという。 と本に書かれてあるのですが、 開近傍とは一体どういうことなのでしょうか? Uという集合が開集合であり、空間Xと比べて点x近傍にある集合である という意味でこういう名前がついているのでしょうか? 集合の証明について この問題をベン図を使わずに証明することはできますか? 集合Aと集合Bがある。 「AUB=A」⇔「BとAの補集合は排他的(BとAの補集合の共通部分は空集合)」 左から右と右から左の証明ってどうやってやるんですか? 凸集合での命題を証明したいのですが… 実数体Rに於いて,A,B⊂R^n を凸集合とする時、 (1) もし、AとBが閉集合ならA+B:={x+y;x∈A,y∈B}は閉集合とは限らない。 (2) もし、AがコンパクトでBが閉集合ならA+Bは閉集合。 という命題を証明したいのですが滞ってます。 凸集合の定義は 「集合Sについて任意の2つのベクトル x,y∈S と正の実数s (0≦s≦1) について, sx+(1-s)y∈S が成立するとき,Sは凸集合であるという」 閉集合の定義は 「{Π[1..n][ai,bi];ai,bi∈R(i=1,2,…,n)}の元を閉集合という」 コンパクトの定義は 「集合YをX(⊂R^n)の開被覆とする時、Yの有限個の開集合でXを覆える。」 (1)の反例はどのようなものが挙げれるでしょうか? そして、(2)はどのようにして示せますでしょうか? 数学の命題(距離空間の集合) 数学の質問です。次の命題を証明してください。 距離空間の勝手な開集合は(無限個も含め)いくつかの開円板の和集合として表せる. よろしくお願いします. 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば? Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市(長野県)在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学(農工医) 学校 受験・進学 留学 その他(学問・教育) カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル?プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す!格安SIMと端末選びのポイントは? 友達って必要?友情って何だろう 大震災時の現実とは?私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ!負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる! OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
お礼
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