距離空間Xの閉集合族についての証明（ドモルガン）

質問

距離空間Xの閉集合族Fについて
{F[λ]| λ∈Λ}∈Fならば∩[λ∈Λ] F[λ]∈F・・・・（※）

（　[ 　]はすぐ左の記号の右下あるいは真下の添字のつもりです）
を

開集合族Oについて
O[λ]| λ∈Λ}∈Oならば∪[λ∈Λ] O[λ]∈O

が成り立つことと、ドモルガンの法則を使って証明したいんですが、
それには※で（後者の否定）ならば（前者の否定）を示せばいいんでしょうか？

よろしくおねがいします。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

（後者の否定）から（前者）を導き出せばいいんです。

開集合族Oについて
O[λ]| λ∈Λ}∈Oならば∪[λ∈Λ] O[λ]∈O
∪[λ∈Λ] O[λ]部分の補集合（あなたの言葉にしたがうと《否定》）をとる。
するとドモルガンの法則より
　∩[λ∈Λ]　（O[λ]の補集合）
　∪[λ∈Λ] O[λ]∈Oだから
　∪[λ∈Λ] O[λ]は開集合
開集合の補集合（否定）は閉集合になるので、
　∩[λ∈Λ]　（O[λ]の補集合）は閉集合である。
さらに、
　F[λ] = (O[λ]の補集合)
とすれば、目的の
{F[λ]| λ∈Λ}∈Fならば∩[λ∈Λ] F[λ]∈F・・・・（※）

が得られるみたいな感じです。

閉集合族Fから開集合族Oを導き出すこともできます。
たとえば、
”距離空間Xの閉集合族Fについて
{F[λ]| λ∈Λ}∈Fならば∩[λ∈Λ] F[λ]∈F・・・・（※）”
を使って
”開集合族Oについて
O[λ]| λ∈Λ}∈Oならば∪[λ∈Λ] O[λ]∈O”
を導き出すこともできます。

お礼

回答ありがとうございました。