数学の問題です。回答教えてください

質問

(1)X軸と2点(-1,0),(5,0)で交わる放物線がある。
(i )この放物線がy軸と点(0,10)で交わる時、放物線の方程式を求めよ。
(i i )この放物線の頂点のy座標が－4であるとき、放物線の方程式を求めよ。
(2)二次関数y=ax^2+bx+cは、軸の方程式が、x=-2であり、定義域が-3≦x≦4のとき値域が-2≦y≦4である。a,b,cの値を求めよ。

丸投げ＆長文ごめんなさい。参考書と教科書も読みましたが理解できませんでした。解説があると嬉しいです。

回答No.1

amedamas · ベストアンサー

(1)
（i）X軸と2点(-1,0),(5,0)で交わるので放物線の軸はｘ＝２である
　　　よってこの放物線の式は
　　　　　　　　　　　ｙ＝a(x-2)＾２+b　（a<0）　と表せる
　　　　（０，１０）を通るよりy=10,x=0を上の式に代入
　　　　　　　　　　10=a(0-2)^2+b
10=4a+b・・・・・・・・・(1)
　　　　（５，０）を通るよりｘ＝５,y=0を代入
　　　　　　　　　　　0=a(5-2)^2+b
0=9a+b・・・・・・・・・(2)
　　　　　(1)から(2)を引く
　　　　　　　　　　　－５a=10
a=-2
これを(1)に代入
　　　　　　　　　　　ｂ＝１４

以上より　　ｙ＝－２（ｘ－２）＾２+１４

ii)頂点のｙ座標がー４より放物線の方程式は
　　　　　ｙ＝a(x-2)＾２-4 （a>0) 　　とおける
（５，０）を通るよりｘ＝５,y=0を代入
0=a(5-2)^2-4
a=4/9
よってｙ＝4/9(x-2)^2-4

(2)y=ax^2+bx+c
=a(x^2+b/ax)+c
=a{x+b/(2a)}^2-b^2/4a+c・・・・・(1)
軸の方程式が、x=-2より
　　　ｙ＝a（ｘ+２）^2-b^2/4a+c・・・・(3)
定義域が-3≦x≦4のとき値域が-2≦y≦4,軸がｘ＝－２より
ｙ＝－２,x=-2を代入
　　-2＝-ｂ＾２/(4a)+c・・・・(2)
y=4,x=4を代入
　　4=36a-b^2/(4a)+c
　　(2)を代入
　　4=36a-2
a=1/6
これを(1)に代入
　　ｙ＝1/6(x+3b)^2-b^2/(4a)+c
(3)より
　　　 3b=2
b=2/3
(2)にこれを代入
-2=-4/9*6/4+c
c=-4/3

以上よりa=1/6,b=2/3,c=-4/3

計算が間違っているかもしれませんが考え方はあっていると思うので、参考にしてください

お礼

おはようございます。お礼が遅くなってごめんなさい！丁寧な解説と回答嬉しいです！ほんとうにありがとうございました！

回答No.2

info22_

(1)
X軸と2点(-1,0),(5,0)で交わる放物線の方程式は
　y=a(x+1)(x-5)
と書ける。
(i)
この放物線がy軸と点(0,10)で交わるので
　10=a(0+1)(0-5)
　10=-5a
　∴a=-2
したがって放物線の方程式は
　y=-2(x+1)(x-5) または y=-2x^2 +8x+10

(ii)
　y=a(x+1)(x-5)
の平方完成して頂点を求める。
　y=a(x^2-4x-5)=a((x-2)^2-9)=a(x-2)^2-9a
この放物線の頂点のy座標「-9a」が－4であるから
　-9a=-4 ∴a=4/9
よって放物線の方程式は
　y=(4/9)(x-2)-4

(2)
　y=ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)x)+c=a(x+(b/(2a)))^2-(b^2/(4a)+c
軸の方程式「x=-b/(2a)」が、x=-2であることから
　b=4a ...(A)
このとき
　y=a(x+2)^2-4a+c
定義域が-3≦x≦4のとき値域が-2≦y≦4となる場合は2通りある。
　x=-2のときyが最小となる場合 y=-2=-4a+c ...(B)
　　x=4でyは最大値4をとるから y=4=36a-4a+c=36a-2...(C) (∵(B)より)
　　 ∴a=1/6, c=4a-2=-4/3, b=4a=2/3 ...(D)
　x=-2のときyが最大となる場合 y=4=-4a+c ...(E)
　　x=4でyは最小値-2をとるから　y=-2=36a+4 ...(F)
　　 ∴a=-1/6 , b=4a=-2/3, c=4a+4=4-(2/3)=10/3 ...(G)
(D),(G)の2組のa,b,cが答えとなります。

お礼

おはようございます！お礼が遅れてごめんなさい。丸投げしたのにもかかわらず丁寧な解説と回答ありがとうございました！