二次関数の問題でわからないこと

質問

こんばんわ、えっと行き詰まったところが出たので教えてください

２乗は^で表させてくださいｍ（＿）ｍ

二次関数y=ax^2-4ax+b(-1≦x≦3)の最大値が２２で、最小値が-5であるとき、定数a,bの値を求めてください。a>0も付く

＜自分なりの考え＞
f(x)=ax^2-4ax+b
=a(x^2-4x)+b
=a(x-2)^2-4+b

a>0より-1≦x≦3においてx=2のとき最小値-４+ｂ
～～～～～～～～～～～

ここまでで行き詰まってます、アドバイスお願いしますｍ（＿）ｍ

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

skyline-gtr-32さん、こんばんは。

＞＜自分なりの考え＞
f(x)=ax^2-4ax+b
=a(x^2-4x)+b
=a(x-2)^2-4+b
　　　　　↑
ここ、惜しい！！
a(x-2)^2と、aがかかっていますから-4じゃなくて-4aですよね？

f(x)=ax^2-4ax+b
=a(x^2-4)+b
=a{(x-2)^2-4}+b
=a(x-2)^2-4a+b

のようになるので、a>0より、これは
頂点(2,-4a+b)、下に凸の放物線になりますね。

さて、この定義域ですが-1≦x≦3ですから
この範囲と、軸x=2を考えて、グラフを書いてみてください。
下に凸のグラフになることも、大事ですね。

グラフを描いてみると、
x=2(軸のとき）最小になり、
x=-1のとき、最大になることが分かると思います。

f(2)=-4a+5=-5←最小値

f(-1)=a(-1-2)^2-4a+5
=9a-4a+b
=5a+b=22←最大値

のようになるので、これは２元連立方程式です。

-4a+b=-5
5a+b=22
----------
-9a=-72
a=3
b=7

のようになるので、a=3,b=7となって求められます。
頑張ってください！！
アドバイスは、平方完成したあと、a>0からグラフを書いてみることです。

お礼

fushigichanさん貴重なアドバイスありがとうございました。と～ってもわかりやすかったです。

-9a=-72じゃなくて-9a=-27だと思いますが・・（多分

回答No.4

ryuuha-rosu

こんばんわ。
続きをすれば
－４＋ｂ＝－５
ｂ＝－１

最大値は、２次関数なのでx=-1のとき
a(-1-2)^2-5=22
9a=27
a=3
以上

回答No.3

MovingWalk

＃２です。
失礼！私もまちがえたみたいですね(汗

回答No.2

MovingWalk

最小値-４+ｂ＝○ですからｂは△となりますよね。
また、最大値はf(-1)ではないですか？