二次関数

質問

放物線y=x^2+1・・・(1)と、点（1、2）に関して対称な放物線の方程式・・・(2)を求めよ。
という問題なのですが、
(1)の点を（x,y）とすると、(2)の点は（2-ｘ、-ｘ^2+3）と表せて、(2)はy=-x^2+bとして（(1)のx^2の係数が1なので、-1にしたのですが、だめでしょうか？）（2-ｘ、-ｘ^2+3）を代入してbがでれば表せるなと思ってやったんですが、答えが合いません。
※Ａ．y=-x^2+4x-1
　です。

よろしくお願いしますm（__）m

回答No.2

noname#24477 · ベストアンサー

代入するのは元の式(1)のほうが簡単でしょう。
(x、y)→(X、Y)とすると
(X、Y)＝(2ーx、4ーy) ここまであなたの解と同じですね。
そこからx＝2ーX、y＝4ーY (大文字小文字をかき分けています。小文字についてといています)
として(1)に代入して見て下さい。
出来た式が答えです。わざわざbとか置く必要もないです。

小文字が元の式(1)を満たす点、大文字があたらしいグラフの点です。

式がつくれてしまえば後はどんな文字を使っても(p、qでもあるいは小文字のx、yでも)いいです。
だから普通はあらためて小文字のx、yに直すでしょう。

お礼

どうもありがとうございます。

＞(X、Y)＝(2ーx、4ーy) ここまであなたの解と同じですね
ごめんなさい、間違えてました（^^；

x＝2ーX、y＝4ーY となることはわかったのですが、なぜこれを代入すると答えがでるのでしょうか？
基の式に入れて、なぜ答えがでるのかがよくわかりません・・。
よかったら教えてくださいm（__）m

回答No.7

Mell-Lily

曲線
　C:f(x,y)=0 …(1)
を、x軸方向にa、y軸方向にbだけ平行移動した曲線は、
　C':f(x-a,y-b)=0 …(2)
と表されます。C'上の点の座標
　(x,y) …(3)
に対し、点
　(x-a,y-b) …(4)
は、C上にあるので、(4)を(1)に代入すれば、C'上の点(3)が満たすべき方程式(2)が求まります。

求めるべき放物線P'上の点を
　(x,y) …(5)
とすれば、点
　(2-x,4-y) …(6)
は、放物線
　P:y=x^2+1 …(7)
上にありますから、(6)を(7)に代入して、
　4-y=(2-x)^2+1
　∴ y=-x^2+4x-1 …(8)
がP'の方程式ということになります。

お礼

どうもありがとうございます！
ようやく、理解できました。

ありがとうございました～。

回答No.6

ONEONE

他の方の回答を見て「ああ、ちょっと考えが浅かったな」と反省してます。

＞点対称だから-1を掛けます。

確かにわかりにくいです。ごめんなさい。しかも間違ってますしね。

図形的に考えてですが、y=x^2+1は正の二次関数だから、点対称のグラフは負の二次関数になる。ということを言いたかったのですが、説明下手で・・・

＞stripeさんの考えでは対称移動していないんですね。
＞(2)の点は（2-ｘ、-ｘ^2+3）と表せて
これがどこから来たのかわかりませんが、他にも表すことの式ができてしまいますよね。たとえば（3-2x，2x^2)など。

この部分は無視してください。こちらの間違いでした。とてもとんちんかんな回答してしまってすいません。

お礼

あ～全然気にしないでくださいね！

ではでは、ありがとうございました☆

回答No.5

noname#24477

グラフの方程式とは何か、と考えたとき
グラフ上の点を（ｘ，ｙ）としたとき、その関係式を作ればよい。
実は文字は何でも良いわけですが、ｘ軸とｙ軸でたいていやっていますから
（ｘ，ｙ）と置くことが多いですね。

さて私が示したアドバイスでは
（ｘ，ｙ）→（Ｘ，Ｙ）
のように小文字と大文字で区別しました。（何回も言いますけど文字は何でも
良いんですよ。ダッシュを付けて区別することもあるし、ａ，ｂのように
ぜんぜん違う文字を使ってもらってもいいです）

どちらの点が（２つのグラフの）どちらのグラフ上にあるか、に気をつけてください。

今は（ｘ，ｙ）が元のグラフで、（Ｘ，Ｙ）が新しいグラフ上の点です。

それで求めるのは、新しいグラフの方程式。すなわちＸとＹの関係式です。

元のｘ，ｙはいりません。だからｘ，ｙを消してしまおうということです。

お礼

＞元のｘ，ｙはいりません。だからｘ，ｙを消してしまおうということです。
これがよくわかってなかったです（^^；
軌跡の問題みたいですね。

よくわかりました。
補足して頂いてどうもありがとうございました！

回答No.4

fushigichan

stripeさん、こんにちは！

これは、同じｘ、ｙで考えているから、ややこしくなるんですよ。

もとの放物線y=x^2+1上の点を、(a,b)としましょう。
これは、放物線上にあるので、b=a^2+1　・・・・（☆）ですね。

さて、(a,b)と(1,2)に関して対称な点を、(x,y)とすれば、
この(x,y)の満たす式が求める方程式になることが分かると思います。

さて、(1,2)に関して対称ということですから、素直に式を作ってみると、

(a+x)/2=1
(b+y)/2=2
これを解いて、
a=2-x
b=4-y
となります。
さて、ここで、(a,b)は（☆）を満たすことから、それに代入しましょう。

b=a^2+1
4-y=(2-x)^2+1
4-y=4-4x+x^2+1
y=-x^2+4x-1
となって、(x,y)の満たす方程式が求められます。

ご参考になればうれしいです。頑張ってください！

お礼

＞これは、同じｘ、ｙで考えているから、ややこしくなるんですよ。
a,bにすると、見やすいですね。
とてもわかりやすかったです。

どうもありがとうございました～。

回答No.3

Largo_sp

(2)のほうは、もう既にグラフを対称移動させてしまっているので、そちらに代入すると違った答えになってしまいます

線対称移動を２回するという方法もありますね...
まず直線 y=2で線対称移動をすると...
y=0で線対称移動させたとき
y=-x^2-1.....ですよね(これはy=-Yを(1)に代入したしきですよね）
だから...y=-x^2+3...これをx=1で線対称移動したグラフがこたえですね...

ちなみに#2の方の回答の,(X,Y)は、移動した後の点として書いていますが、
点対称なので、移動する前の点と考えても問題ありません...
移動する前の点(X,Y)は、式(1)を満たします。移動後の点は、(x,y)となりますので変形して回答となります

(x,y)→(X,Y)が、(X,Y)=(5-2x,6-y)とか言う場合は、この関係について
計算しなおすひつようがあります...

お礼

ご回答どうもありがとうございます！
やっと理解できました～。
ありがとうございました！

回答No.1

ONEONE

こういう問題は頂点を対称に移動した座標を求めて、そこから式を求めればよいと思います。
対称移動だからx^2の係数は変わらず、点対称だから-1を掛けます。・・・★
元の頂点は（０，１）なので（１，２）と対称の点は内分の公式（知ってます？）をつかって（使わなくても図を描けばわかります）（２，３）と出ます。
のでこれと★から答えが出ます。

stripeさんの考えでは対称移動していないんですね。
＞(2)の点は（2-ｘ、-ｘ^2+3）と表せて
これがどこから来たのかわかりませんが、他にも表すことの式ができてしまいますよね。たとえば（3-2x，2x^2)など。

お礼

どうもありがとうございます！化学の質問をした時もお世話になりました。

＞元の頂点は（０，１）なので（１，２）と対称の点は内分の公式（知ってます？）をつかって（使わなくても図を描けばわかります）（２，３）と出ます。
はわかったんですが、

＞対称移動だからx^2の係数は変わらず、点対称だから-1を掛けます。・・・★
というのがちょっと判りません・・。
これはどういうことでしょうか？
数(2)でしょうか、教科書を見てみます。

＞（2-ｘ、-ｘ^2+3）
というのは（x,x^2+1）を（1,2）に関して対称移動すると（Ｘ、Ｙ）になるじゃないですか、それでだしたんですがとんちんかんですかね・・（^^；