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２次関数
放物線の方程式を求める問題が分かりません。 ２点A(1,0)、B(3,-4)を通り、頂点が直線y=x-1上にある放物線の方程式を求める問題です。 y=a(x-p)+p-1を使って、 Aが 0=a(p-1)+p-1 Bが -4=a(p-3)+p-1 のところまでやったのですが、以前この問題と似た問題を解いたとき、AとBを代入した式を=でつなげて、両辺aで割っていたのですがこれはなかなかうまくできません。 どのように解けばいいのか教えてください。 ちなみに解答は今週末に配られる予定です。。
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二乗がついているものとして説明します。 前半は丁寧に解説しますが、後半は自分の力でやってみてください。 ■目標 aとpの値がそれぞれわかればいいのですね。 そのためには、aかpのどちらかが分かればいい訳です。 このためには、AとBの式から、aまたはpのどちらかを消去して、aだけかpだけの式にすればいいのです。 そうすれば、その文字について解くことによって、文字の値がわかるからです。 ではaとpどちらが消去しやすそうですか？ aの方が出現回数が少ないのですから、消しやすいですね。 ですから、Aのp-1を左辺に移項して、 -(p-1)=a(p-1)^2 としてから、両辺を(p-1)^2で割る。これでa=の式になりますね。 しかし、「０で割ってはいけない」という大事なルールがありますから、 p=1とp≠1の時で、場合分けしなければなりません。 (1)p=1のとき、p=1をAとBに入れてみると、ｐ＝１が答えの一つであることがわかり、aの値も出ます。 (2)p≠1のとき、a=-1/(p-1)となるので、これをBに代入し、両辺にp-1をかけて、二次方程式を解くとpが出て、これを使ってaも出します。 今回のポイントは ・連立方程式を解くときは、(足したり引いたりして文字を消去するだけじゃなくて)代入法(一つの文字について解いて他の式に代入する方法)も忘れちゃ駄目よ ・０で割れないから、ちゃんと分母が０のときと０じゃない時で場合分けしなきゃ駄目よ の２点です。頑張ってください。
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A点を通過するので ０＝a(p－１）＾２＋（ｐ－１）・・・・（１） 同じくB点を通過するので －４＝a（ｐ－３）＾２＋（ｐ－１）・・・（２） （１）式より a=－１/（ｐ－１）・・・・（３） （３）しきを（２）に代入して、整理すると ｐ＾２＋ｐ＝０ ｐ（ｐ＋＋１）＝０ ｐ＝０、－１となる。 ｐ＝０を原方程式に代入すると ｙ＝ｘ＾２－１・・・・（４） この方程式の頂点の座標は X＝０ Y=－１ この頂点の座標は Y=X-1を満足するので 求める方程式は（４）である。
お礼
回答ありがとうございます。 教えてもらったとおりに解いたら、解答と同じ答えを出すことが出来ました。 本当にありがとうございました。
- owata-www
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＞y=a(x-p)+p-1 なぜこうなってしまったんでしょう (┳◇┳) 二次関数なんですから y=a(x-p)^2 + p-1です。 これにA(1,0)、B(3,-4)を代入してみれば答えは出ます（まあ、もうちょっとうまいやり方もあるんですが…）
お礼
回答ありがとうございます。 2乗を入れ忘れてしまいました・・・ 質問にもあるとおりA,Bを代入したのですがその先がよく分からなくて＞＜
お礼
回答ありがとうございます。 括弧のあと2乗が抜けてました・・・ 解説のほかにポイントまで教えていただきありがとうございました。