数IIIの問題なんですが、、、

質問

数IIIの問題なんですが、以下の問題を解くことができないんです。　
どなたかよい解法をお願いします。　　

曲線X=cos^3θ、Y＝sin^3θで囲まれた部分の面積。

答えは3/8πになるらしいです。

回答No.4

mister_moonlight

休みボケか　Ｗ

＞3倍角の公式より、cos（3θ）＝4（cosθ）＾3-3cosθ、sin（3θ）＝3sinθ-4（sinθ）＾3から、x＾（2/3）＋y＾（2/3）＝1という曲線になる。

アステロイドの方程式を求めるだけなら、x＝cos^3θ、y＝sin^3θ　より、x＾（2/3）＋y＾（2/3）＝（cosθ）＾2＋（sinθ）＾2＝1という曲線になる。

3倍角による変形は、面積を求める時に使うだけ。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

これは、パラメーターθを次のように消去する。
3倍角の公式より、cos（3θ）＝4（cosθ）＾3-3cosθ、sin（3θ）＝3sinθ-4（sinθ）＾3から、x＾（2/3）＋y＾（2/3）＝1という曲線になる。
これは、アステロイドと呼ばれている。
さて、その面積だが、図形が下のＵＲＬに載ってるから、すぐ出来るだろう。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%AD%E3%82%A4%E3%83%89_(%E6%9B%B2%E7%B7%9A)

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

yamori2009

t=θとします
x^2=cos^6t=(1-sin^2t)^3=(1-y^(2/3))^3
x^(2/3)+y^(2/3)=1
このグラフはx軸対称かつy軸対称です(x>=0,y>=0で考えます)
x=0のときy=1,x=1のときy=0であり、xが増加すればするほどyは減少することも分かりますから、求める面積は
4∫[0,1]ydx=12∫[0,π/2]sin^4tcos^2tdt
=3/4∫[0,π/2](1-cos4t)(1-cos2t)dt
=3π/8

お礼

ありがとうございました！！
やってみます。

回答No.1

noname#160321

これ、θの範囲を決めないと発散しませんか？

補足

私もそう思ったんですけど、
問題集に書いてなかったんですよ（＋。＋）；
解けないってことですよね。