数IIIの問題教えてください！

質問

2つの曲線 y=a/(x+1)^2 (aは正数)と y=1/x について
（1）この2つの曲線が相異なる2点で交わるようなaの範囲を求めよ
（2）a=6のとき、この2つの曲線で囲まれる部分の面積Sを求めよ

解答
（1）a>4

（2）2(√3)+2log(2-√3)

（1）は解けたんですが、（2）が分かりません。
グラフはどのようになるのでしょうか。
分かる方詳しく解説よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(2)
>グラフはどのようになるのでしょうか。
y=6/(x+1)^2…(A)
y=1/x…(B)

(B)は中学で習う反比例のグラフ
(A)は「y=6/x^2」のグラフをx軸負の方向の１だけ並行移動したグラフ
です。第一象限で2点で交わります。

（A)と(B)の交点のx座標は(B)-(A)から
(1/x)-6/(x+1)^2=(x^2-4x+1)/{x(x+1)^2}=0
x^2-4x+1=0
x=2±√3（>0）

2交点の間で
(x^2-4x+1)/{x(x+1)^2}≦0なので
(1/x)-6/(x+1)^2≦0
したがって（A）のグラフが（B)のグラフの上方にある。
積分区間はxの正の範囲なので
S=∫[2-√3, 2+√3] {6/(x+1)^2 -1/x}dx
=[-6/(x+1)-log x](x=2+√3)-[-6/(x+1)-log x](x=2-√3)
=-6/(3+√3)+6/(3-√3)-log(2+√3)+log(2-√3)
=6*2√3/(9-3) +log{(2-√3)/(2+√3)}
log内の分母の有理化をして
=2√3+log{(2-√3)^2}
=2√3+2log(2-√3)

回答No.1

Mr_Holland

(2)　a=6 のとき　2曲線の交点のｘ座標は　x^2-4x+1=0 の解です。
　　この解を　α,β (α<β) とすると　解の公式、解と係数の関係から
　　　α,β=2±√3, α+β=4, αβ=1
　　これらのことから、β-α=2√3, β/α=(2-√3)^2　と分かります。

　　α<x<β　で　6/(1+x)^2 は 1/x より上側にありますので、
　　（グラフを描けば一目瞭然ですが、x=2(α<2<βだから) のときの 6(1+x)^2=2/3 > 1/2 =1/x からも確認できます。）
　　求める面積Sは次のように表せます。

　S=∫[x=α→β] {6/(1+x)^2-1/x}dx
=[-6/(1+x)-log(x)][x=α→β]
=-6{1/(1+β)-1/(1+α)}-log(a)+log(β)
=6(β-α)/{αβ+(α+β)+1}+log(β/α)
=6×2√3/(1+4+1)+log(2-√3)^2
=2√3+2log(2-√3)