第一象限で、ｘ軸ｙ軸に端がある長さ１の線分の軌跡の面積は？という問題で

質問

第一象限で、ｘ軸ｙ軸に端がある長さ１の線分の軌跡の面積は？という問題で、
先ほどの質問に訂正をします。
その領域をＳとすると、原点、(0,1)、(1,0)の三角形に収まり、原点、(0,√2/2)、(√2/2,0)の三角形を含むので、1/4<S<1/2であることがわかります。
y=(-tanθ)x+sinθ と置き、θで偏微分し、
y'={-x/(cosθ)^2}+cosθとしてx=(cosθ)^3となるθの時、最大値を取り、
その際、y=(sinθ)^3だから、∫(0~π/2)(sinθ)^3dθと置くと、答えは、2/3となり、間違いでした。
続いて、∫(0~1)(sinθ)^3dx で計算すると、3π/32となり、一応範囲になります。
しかし、これは、私の大学入試で出た問題でして、ウン年前には、解けた問題でした。
この解き方だと、ウォリス積分を知らなかった私に解けたはずはありません。
どなたか解法を教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>y=(-tanθ)x+sinθ…(1) と置き、θで偏微分し
これから
0=x*(secθ)^2-cosθ ∴x=(cosθ)^3…(2)
(1),(2)からθを消去すると
y=(1-x^(2/3))^(3/2)
S=∫[0→1] ydx
=-{(1/2)x^(5/3)-(7/8)x+(3/16)x^(1/3)}√{1-x^(2/3)}-(3/16)arctan[x^(-1/3)√{1-x^(2/3)}] |_[x=0→1]
=3π/32
と出てきます。

[別解] x=(cosθ)^3の関係を利用して置換積分すると
y=sinθ
S=∫[0→1] ydx=∫[π/2→0] {(sinθ)^3}{-3sinθ(cosθ)^2}dθ
=3∫[0→π/2] {(sinθ)^4}{(cosθ)^2}dθ
=(3/8)∫[0→π/2] {(1-cos2θ)^2}(1+cos2θ)dθ
=(3/8)∫[0→π/2] (1-cos2θ){1-(cos2θ)^2}dθ
=(3/8)∫[0→π/2] (1-cos2θ){(sin2θ)^2}dθ
=(3/16)∫[0→π/2] (1-cos2θ)(1-cos4θ)dθ
=(3/16)∫[0→π/2] {1-cos2θ-cos4θ+(1/2)(cos6θ+cos2θ)}dθ
=(3/16)[θ-(1/2)sin2θ-(1/4)sin4θ+(1/12)sin6θ+(1/4)sin2θ] [θ=0→π/2]
=(3/16)(π/2)
=3π/32

お礼

どうもありがとうございました。結果はあっていてほっとしました。
おそらく、前者の解法は、思いつかなかったと思います。後者の方法でやったのかもしれません。あるいは、問題の初めに、ウォリス積分の証明があったのかもと思っています。