お願いします

質問

ａ＞０、ｘ＞０の時、関数ｆ(ｘ)は
等式∫[ａ，ｘ＾２]ｆ(ｔ)　ｄｔ＝ｌｏｇｘを満たす。。
このとき、ｆ(ｘ)と定数ａの値を求めよ。。

という問題です。
答えは、ｆ(ｘ)＝１／２ｘ，ａ＝１です。。

ｆ(ｘ)＝ｌｏｇｘ－∫[ａ，ｘ＾２]ｆ(ｔ)　ｄｔ
　　　＝ｌｏｇｘ－Ａ
と置いて、その後なんですが・・・。。
どうしても、答えが出ません。。
この後、というか自分で考えたところも正しいのか？？なんですけど、
お願いしますm(__)m
ａの値もお願いします。。

回答No.2

springside · ベストアンサー

まず、∫[ａ，ｘ＾２]ｆ(ｔ)　ｄｔ＝ｌｏｇｘの両辺をxで微分します。

左辺＝f(x^2)*2x　（2xは、x^2の微分です）
右辺＝1/x

なので、f(x^2)*2x=1/xとなって、両辺を2xで割ると、f(x^2)=1/(2x^2)となります。
ここで、x^2=sとでも置くと、f(s)=1/(2s)となりますから、改めてsをxと置いて、f(x)=1/(2x)がわかりました。

後は、積分を実際に計算すればよくて、
∫[a,x^2]f(t)dt=∫[a,x^2]1/(2t)dt
=(1/2)[log t][a,x^2]
=(1/2){log a - 2log x}
となって、これがlog xですから、log a = 0となり、a=1がわかりました。

お礼

ありがとうございました！！

回答No.4

mmky

参考程度に他の考え方まで

∫[ａ,x＾2]f(t)ｄｔ=logx　
から右辺は、{logx}形式ですから積分値を係数を考慮して
k*logx とすると、
{k*logx }[a→x＾2]=k{logx＾2-loga}=k{2logx-loga}→logx
だから、K=1/2, a=1, 不定積分が（1/2)logx になる関数は、
f=1/2x として求まりますね。

参考程度に

お礼

ありがとうございました！！

回答No.3

springside

#2のspringsideです。間違えました。

最後の部分で、
　　　　　　　=(1/2){log a - 2log x}
は間違いで、
　　　　　　　=(1/2){2log x - log a}
が正しいです。

回答No.1

Aquoibonist

∫[ａ，ｘ＾２]ｆ(ｔ)　ｄｔ＝ｌｏｇｘ・・・(1)
f(x)の原始関数をF(ｘ)とするなら左辺は
F(x^2)-F(a)になりますよね。
これをxについて微分すると
2x*f(x^2)になります。2xがなぜ出てくるかというと、
F(x^2)はt=x^2とy=F(t)の合成関数だからで、
つまり、合成関数の微分より、2xが出てくることになります。
結局、(1)式をxについて微分すれば
2x*f(x^2)=1/x
f(x^2)=1/(2x^2)
x^2をxで書き換えると
f(x)=1/(2x)が得られます。
∫[ａ，ｘ＾２]ｆ(ｔ)　ｄｔ ＝(定数)とはおそらく置けません。
これはxの関数になるからです。
aの値ですが、(1)式の左辺にf(x)=1/(2x)を代入して積分を実行すると
(1/2)*log(x^2)=logxに注意して
logx-logaを得ますが、これがlogxに等しいのだから
loga=0
すなわちa=1を得ます。

お礼

ありがとうございました！！