対称性を利用した問題

質問

対称性を利用した問題
x,y,z<0 でx+y+z<-3 およびx^2+y^2+z^2+2xyz=1を満たす時
(x+1)(y+1)(z+1)≦0 であることを示せ。

解答ではx+1=a, y+1=b, z+1=cと置き替えて解いています。
しかし私はこの置き換えに気付かなかったので、この置き換えをせずに何とか解けないかと考えているのですが、行き詰っています。
どなたか分かる方、教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願いします。

以下私の途中までの方法です。

x+y+z=s , xy+yz+zx=t, xyz=u とすると
s<-3 , s^2-2t+2u=1 で、示すべきは、s+t+u+1≦0
tを消去すると、s^2/2+2u+1/2≦0 が示すべき式

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

x+y+z<-3 は　x+y+z≦-3　のミスじゃないだろうか？

(x+1)(y+1)(z+1)≦0 から、x、y、zのうちで少なくても1個は-1になる。
従って、x＝y＝z＝-1　でも成立するから、x＋y＋z≦-3　である。

文字は全て実数とする。
x+y+z=a , xy+yz+zx=b, xyz=cとすると、a≦-3、b＞0、c＜0　‥‥(1)
x^2+y^2+z^2+2xyz=1　から　a＾2-2b＋2c＝1　‥‥(2)
シュワルツの不等式から　3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)＾2　→　3b≦a＾2　‥‥(3)
2Ｐ＝2(x+1)(y+1)(z+1)＝2(1＋a＋b＋c)＝4b＋2a-a＾2＋3となる。‥‥(4)
そこで、2c＝1-a＾2＋2b＜0と(1)と(3)をab平面上に図示すると、a≦-3、b＞0で3b≦a＾2　の部分。
(4)は　4b＝(a-1)＾2＋(Ｐ-4)から放物線。
これは、点(-3、3)を通るときにＰは最大値をとるが、その時　最大値は0.
従って、Ｐ≦0.　等号は a＝-3、b＝1、c＝-1　つまり　x＝y＝z＝-1の時。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

>シュワルツの不等式から　3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)＾2　→　3b≦a＾2　‥‥(3)

これは全然気づきませんでした…。
このような絶対不等式の利用は初めてです。
とても勉強になりました。

どうもありがとうございました。

>x+y+z<-3 は　x+y+z≦-3　のミスじゃないだろうか？
こちらの件ですが、今確認してみましたら間違いはなかったです。
等号なしの「x+y+z<-3」でした。

回答No.1

noname#119424

一般的にはあなたの途中式から解くが、少し変わった証明をするよ。
(x+1)(y+1)(z+1)≦0 ということは　(x+1)(y+1)(z+1)>0を満たす(x,y,z)が存在しないことと同値
つまり(x+1)(y+1)(z+1)>0・・・(＊)
を満たす(x,y,z)が存在すると仮定しよう。
(＊)を満たす(x,y,z)の組み合わせとして
x,y<-1 -1<z<0 と -1<x,y,z<0 のみ。
(1) -1<x,y,z<0のとき
　　　　　　　　　　　　　x+y+z<-3から矛盾

(2) x,y<-1 -1<z<0のとき
　　　　　　　　　　　　　x+y+z<-3となる(x,y,z)は存在するが
x^2+y^2+z^2+2xyz=1について考えてみる。
今x,y<-1とすると
　　　　　　　　　z^2+2xyz+y^2<0・・・・・(＊)(＊)
が成立する。
ここで(＊)(＊)が満足するようなzが-1<z<0であればよいが
f(z)=z^2+2xyz+y^2とおいて　f(z)のグラフからf(0)=y^2>0 f(-1)=1＋2xy＋y^2>0
軸はf(z)=z^2+2xyz+y^2=(z＋xy)^2＋y^2(1-x^2)から
z=-xy<-1 がいえるので (＊)(＊)が満足するようなzが-1<z<0にあることに矛盾
以上からx,y<-1 -1<z<0　と　-1<x,y,z<0とはならない

ゆえに(＊)が成立することに反し、(x+1)(y+1)(z+1)≦0

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

背理法を使うのですね。

そして背理法に気付いたとしても

>(2) x,y<-1 -1<z<0のとき
の扱いも難しいですね。

素晴らしい解答をどうもありがとうございました。
大変勉強になりました。