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対称性を利用した問題
対称性を利用した問題 x,y,z<0 でx+y+z<-3 およびx^2+y^2+z^2+2xyz=1を満たす時 (x+1)(y+1)(z+1)≦0 であることを示せ。 解答ではx+1=a, y+1=b, z+1=cと置き替えて解いています。 しかし私はこの置き換えに気付かなかったので、この置き換えをせずに何とか解けないかと考えているのですが、行き詰っています。 どなたか分かる方、教えて頂けないでしょうか？ よろしくお願いします。 以下私の途中までの方法です。 x+y+z=s , xy+yz+zx=t, xyz=u とすると s<-3 , s^2-2t+2u=1 で、示すべきは、s+t+u+1≦0 tを消去すると、s^2/2+2u+1/2≦0 が示すべき式
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x+y+z<-3 は x+y+z≦-3 のミスじゃないだろうか？ (x+1)(y+1)(z+1)≦0 から、x、y、zのうちで少なくても1個は-1になる。 従って、x＝y＝z＝-1 でも成立するから、x＋y＋z≦-3 である。 文字は全て実数とする。 x+y+z=a , xy+yz+zx=b, xyz=cとすると、a≦-3、b＞0、c＜0 ‥‥(1) x^2+y^2+z^2+2xyz=1 から a＾2-2b＋2c＝1 ‥‥(2) シュワルツの不等式から 3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)＾2 → 3b≦a＾2 ‥‥(3) 2Ｐ＝2(x+1)(y+1)(z+1)＝2(1＋a＋b＋c)＝4b＋2a-a＾2＋3となる。‥‥(4) そこで、2c＝1-a＾2＋2b＜0と(1)と(3)をab平面上に図示すると、a≦-3、b＞0で3b≦a＾2 の部分。 (4)は 4b＝(a-1)＾2＋(Ｐ-4)から放物線。 これは、点(-3、3)を通るときにＰは最大値をとるが、その時 最大値は0. 従って、Ｐ≦0. 等号は a＝-3、b＝1、c＝-1 つまり x＝y＝z＝-1の時。
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一般的にはあなたの途中式から解くが、少し変わった証明をするよ。 (x+1)(y+1)(z+1)≦0 ということは (x+1)(y+1)(z+1)>0を満たす(x,y,z)が存在しないことと同値 つまり(x+1)(y+1)(z+1)>0・・・(＊) を満たす(x,y,z)が存在すると仮定しよう。 (＊)を満たす(x,y,z)の組み合わせとして x,y<-1 -1<z<0 と -1<x,y,z<0 のみ。 (1) -1<x,y,z<0のとき x+y+z<-3から矛盾 (2) x,y<-1 -1<z<0のとき x+y+z<-3となる(x,y,z)は存在するが x^2+y^2+z^2+2xyz=1について考えてみる。 今x,y<-1とすると z^2+2xyz+y^2<0・・・・・(＊)(＊) が成立する。 ここで(＊)(＊)が満足するようなzが-1<z<0であればよいが f(z)=z^2+2xyz+y^2とおいて f(z)のグラフからf(0)=y^2>0 f(-1)=1＋2xy＋y^2>0 軸はf(z)=z^2+2xyz+y^2=(z＋xy)^2＋y^2(1-x^2)から z=-xy<-1 がいえるので (＊)(＊)が満足するようなzが-1<z<0にあることに矛盾 以上からx,y<-1 -1<z<0 と -1<x,y,z<0とはならない ゆえに(＊)が成立することに反し、(x+1)(y+1)(z+1)≦0
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ご回答どうもありがとうございます。 背理法を使うのですね。 そして背理法に気付いたとしても >(2) x,y<-1 -1<z<0のとき の扱いも難しいですね。 素晴らしい解答をどうもありがとうございました。 大変勉強になりました。
お礼
ご回答どうもありがとうございます。 >シュワルツの不等式から 3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)＾2 → 3b≦a＾2 ‥‥(3) これは全然気づきませんでした…。 このような絶対不等式の利用は初めてです。 とても勉強になりました。 どうもありがとうございました。 >x+y+z<-3 は x+y+z≦-3 のミスじゃないだろうか？ こちらの件ですが、今確認してみましたら間違いはなかったです。 等号なしの「x+y+z<-3」でした。