文字が有理数で基本対称式が整数なら元の文字は整数か

質問

x∈Q、y∈Q、x＋y∈Z、xy∈Z　⇔　x∈Z、y∈Z

(⇐の証明)Z⊂Qより。

(⇒の証明)a＝x＋y∈Z、b＝xy∈Zとおく。
x、yはt^2－at＋b=0の解
x、ｙ＝{a±√(a^2-4b)}/2
x、ｙ∈Qなので、√(a^2-4b)∈Q
(a^2-4b)は平方数で、(a^2-4b)＝c^2(ただしc＞0)とおくと、
x＝(a＋c)/2、y＝(a－c)/2
ここで、xy＝(a^2－c^2)/4∈Zなので、
a、cはともに偶数かともに奇数。
よって、x＝(a＋c)/2∈Z、y＝(a－c)/2∈Z

ところで、

x∈Q、y∈Q、z∈Q、x＋y＋ｚ∈Z、xy＋yz＋zx∈Z、xyz∈Z　⇔　x∈Z、y∈Z、z∈Z

は成り立つのでしょうか？
反例、または証明を教えていただきたいです。
証明は、できれば、3次に限らずに一般に成り立つような方法を教えていただきたいです。

回答No.1

ramayana

n 次の場合でも、一般に成立します。

x1、x2、・・・ 、xn がすべて有理数で、それらの基本対象式がすべて有理整数とします。これらは、有理整数を係数として n 次の項の係数が 1 の多項式の根ですから、代数的整数です。もともとこれらが有理数であるという仮定があるので、有理整数であること分かるのです。

高木貞治「代数的整数論」に詳しい証明があります。

お礼

ありがとうございました。