数学(数的処理) 整数問題

質問

こんにちわ。

【問題】
ある正の整数について,3で割ったときの商と4で割ったときの商を比べたところ,差がちょうど10になった。このような整数のうち最小のものを求めなさい。

(私の考え)
ある正の整数をxとすると・・・
x÷3＝y (x＝3y)
x÷4＝z (x＝4z)
3y＝4z・・・(1)
y－z＝10・・・(2)
連立を解いて　z＝30　よって x＝120

しかし正解は「111」。
余りを考えてなかった点に気付き,余りを文字でさらに置くと・・・解けませんでした。文字数が多くなってしまい・・・。

どなたか指摘・解法よろしくお願いします。m(--)m

回答No.1

noname#47975 · ベストアンサー

まず、３で割ったときの商をxとおきます。
４で割ったときの商は３で割ったときの商よりも小さくなる事から、
４で割ったときの商はｘ－１０になります。
そして、
４（ｘ－１０）≦３ｘ＜４（ｘ－９）
という関係を満たすので、これを解くと、
３６＜ｘ≦４０であり、その範囲での最小の整数ｘは３７
であるので、３×３７＝１１１になります。

お礼

大変,スマートなやり方で非常に参考になります。
４（ｘ－１０）≦３ｘ＜４（ｘ－９）の不等式を立てるなんて発想がありませんでした。

ありがとうございました。

回答No.4

coffeebar

ある整数が1か2の時：商は共に0なので差も0
ある整数が3の時：3で割った時の商は1、4で割った時の商は0なので差が1

以降、3と4の公倍数である12増えるごとに、（12÷3=4、12÷4=3、だから）差は1ずつ増える。（他の問題の場合は「途中、差が縮まる時もある」ことに注意。）

差が10になるのは、あと12×9=108増えた時
3+108=111

お礼

ありがとうございます。
差を考えて解くんですね。
差かぁ・・・なるほど。

ありがとうございますっ!

回答No.3

noname#47975

#1です。
すいません、考え違いしていましたね．．。
4(x-10)≦3x<4(x-9)
の外に
3x ＜ 4(x-10) ＜ 3(x+1)
の条件も考慮しなければならないですね．．。
要するに、
4(x-10)≦3x<4(x-9)または3x≦4(x-10)<3(x+1)
です。これを解くと、36<x≦40または、40＜x<43となります。
よって、36<x<43のうちの最小となる整数xは37になるので、
結局111になります．．。
#1は,4(x-10)≦3xであるという前提でしか考えていなかったので、
4(x-10) > 3xの場合も考えなければいけなかったのにはうかつ
でした．．。

お礼

ありがとうございます。
わざわざ訂正までいれてもらえて大変参考になりました!
ありがとうございました。

回答No.2

KusutoFuna

あまり自信ないですが回答してみます
ある正の整数をxとすれば
x=3α+β
x=4γ+δとおけば
γ＜αとγ＞αに場合わけできて
γ=α-10,γ=α+10と置き換えられます。
これを代入し連立すれば
3α+β=4α-40+δとおけます。
これはα=40+β-δとかけます
βは0,1,2
γは0,1,2,3なので
これら全ての組み合わせについて（12通り）α,γを求め、各々のxを求めてその中から最小のxを選びます。
これでα<γのパターンが終了したので次はα>γをやって
一番小さい値が解

ってのはどうでしょう？面倒くさすぎですね・・・。
私は解く気がしませんでした。
もっとスタイリッシュな解き方があれば誰か・・・

お礼

ありがとうございます。
そうなんです・・・。文字が増えすぎて。
ちょっとこのやり方でも挑戦してみます。

アドバイスありがとうございました!