代数学の、整数の合同の問題を教えて下さい。

質問

この問題がわからず困っています。
(1)n,mは互いに素な整数とする。
このとき、sn+tm=1となる整数s,tが存在する。

a,bを整数とする時、x=bsn+atmとおく。このとき、xは合同式
x≡a mod n
x≡b mod m
を満たすことを示しなさい。
(2)さらに、xをnmで割った余りをrとする。この時rは
r≡a mod n
r≡b mod m
を満たすことを示しなさい。
という問題です。
分かる方、よろしくお願いいたします

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

(1)
n,mは互いに素な整数とする
このとき
sn+tm=1
となる整数s,tが存在する
a,bを整数とする時
x=bsn+atmとおく
↓両辺からaを引くと
x-a=bsn+atm-a
x-a=bsn+a(tm-1)
↓sn+tm=1だから
↓tm-1=-snだから
x-a=bsn+a(-sn)
x-a=(b-a)sn
↓∴
x=a(modn)

x=bsn+atm
↓両辺からbを引くと
x-b=atm+bsn-b
x-b=atm+b(sn-1)
↓sn+tm=1だから
↓sn-1=-tmだから
x-b=atm+b(-tm)
x-b=(a-b)tm
↓∴
x=b(modm)

(2)さらに,xをnmで割った余りをrとする
x=nmq+rとなる整数qがあるから
x-r=nmqだから
r=x=a(modn)だから
r=a(modn)
r=x=b(modm)だから
r=b(modm)

お礼

有難うございます。
ものすごく分かりやすかったです