積分径路

質問

http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/entra/pdf/archive/02math-j.pdf
の第6問(4)についてなのですが、
http://tzik.homeunix.net/ap2007/wiki/index.php?%E9%99%A2%E8%A9%A6%E9%81%8E%E5%8E%BB%E5%95%8F%202002%E5%B9%B4%E5%BA%A6%20%E6%95%B0%E5%AD%A6
の経路IIIの積分で、z=(e^(2πi))xと置かれていますが、経路IIIもe^(2πi)=1なので結局z=xとなり、経路Iの積分と積分の方向が違うだけなので、結局、経路IIIの積分は経路Iの積分を-1倍した結果となると思うのですが、何故このような解答になるのでしょうか？

ヒントになりそうなことでも良いので、宜しくお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

I→II→III→IVの順番で積分していますので、その経路をz=r*e^(iθ)で表したときにrおよびθの変わり方を見ていきましょう。

経路I:z:ρ→Rであるが、θに±2nπの任意性があるのでθ=0とする。
r:ρ→R,θ=0がこの経路のr,θの範囲である。

経路II:半径R,最初にθ=0で反時計回りに１周しているのでθ:0→2π
(θ:0→0ではない!!)

経路III:r:R→ρ,θは経路IIを終えた直後であるのでθ=2π

経路IV:r=ρ,最初にθ=2πで時計回りに１周しているのでθ:2π→0

上から見てわかるように
Iの経路ではr:ρ→R,θ=0
IIIの経路ではr:R→ρ,θ=2π
となっています。この値を実際の積分に入れて見ます。
この際、計算の中でz^a(z:非整数)が現れるためe^(2nπi)を1とおいて計算してはならない。(後述)

経路I:z=r*e^(iθ)=r*e^(0) dz=e^(0)dr
∫_I z^a/(1+z)dz=∫[r:ρ→R] r^a*e^(a*0)/(1+r*e^(i0)) e^(0)dr
=∫[r:ρ→R] r^a*1/(1+r*1) 1*dr
=∫[r:ρ→R] r^a/(1+r) dr

経路III:z=r*e^(iθ)=r*e^(2πi),dz=e^(2πi)dr

∫_III z^a/(1+z)dz=∫[r:R→ρ] r^a*e^(a*2πi)/(1+r*e^(2πi)) e^(2πi)dr
=∫[r:R→ρ] r^a*e^(2πai)/(1+r*1) 1*dr
=∫[r:R→ρ] r^a*e^(2πai)/(1+r) dr

e^(2πai)は0<a<1ですので1ではない値をとります。

z^aの形はaが整数の場合にはz=1であればz^a=1としても問題ありませんが、aが整数でない場合z^a=1は無条件には成り立ちません。2naπの任意性が現れます。(a:整数の場合は2naπの任意性があってもnaが整数となるため=1としてかまわない。)ですのでzの位相を調べた上で計算しないといけないのです。

お礼

あー、確かに経路を順に辿っていくことを考えると、経路IIIの時、θは2πとなり、z^aで影響してきますね＾＾；

どうも有り難うございました。