微分 積分 問題

質問

微分　積分　問題

F(x)=∫［a～x］((x-t)^2)f(t)dtのときdF/dxを求めよ。
という問題なのですが、原始関数F(x)を求めて、微分すればよいのですが
F(x)=∫［a～x］((x-t)^2)f(t)dtの積分がわかりません・・・
どのようにすれば良いのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

f272 · ベストアンサー

> G(x)=∫[a～x]f(t)dtならG(x)’=f(x)は分かるのですが・・・

あるtに関する関数f(t)をaからxまで定積分すると、xの関数G(x)になって、それをxで微分すると元と同じ形のxの関数f(x)になる、といっています。このある関数f(t)をf(t)=(t^2)h(t)だと思えば（これもtの関数ですね）、結論は(x^2)h(x)になる、となるでしょう。式で書けば
(∫［a～x］(t^2)h(t)dt)'=(x^2)h(x)
です。このhをあらためてfと書けば
(∫［a～x］(t^2)f(t)dt)'=(x^2)f(x)
ですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。理解できました。
親切丁寧にありがとう御座いました。

最後に一点だけ質問させて下さい。
ご回答者様はfが区間I上連続ならば、fの不定積分G(x)=∫[a～x]f(t)dtはI上微分可能で、
G´(x)=f(x)とF(x)を用いずG(x)としているのでしょうか？F(x)とした方がすっきりするのですが、何か問題があるのでしょうか？

すいませんが、よろしくお願い致します。

回答No.3

f272

> について、xで微分する場合のtが分かりません？
> tにxを代入しているだけでしょうか？なぜ？

#1ですでに言ってるでしょ。
G(x)=∫［a～x］f(t)dtならG'(x)=f(x)だって。

補足

ご回答ありがとうございます。
G(x)=∫[a～x]f(t)dtならG(x)’=f(x)は分かるのですが・・・
なぜ、(∫[a～x](t^2)f(t)dt)=（x^2）f(x)となるのですか？
（t^2）をどう扱えば良いかが分からないです・・・
本当にすいませんm(__)m

回答No.2

f272

> f(t)の積分はF(t)とすれば良いのでしょうか？

こんなことが分かっているのなら。逆にF(t)をtで微分すればdF(t)/dt=f(t)と言うことでしょ。
そうするとdF/dxを求めよなんて言うのは問題になりません。

問題文のどこかにF(x)とf(x)の関係が書いてありましたか？何もかいていないのでしたらF(x)とf(x)は無関係ということですね。

さて...

例えば(x^2)∫［a～x］f(t)dtの部分をxで微分すると
((x^2)∫［a～x］f(t)dt)'=(2x)∫［a～x］f(t)dt+(x^2)f(x)
ですね。
その他の項も
(-2x∫［a～x］tf(t)dt)'=-2∫［a～x］tf(t)dt-2(x^2)f(x)
(∫［a～x］(t^2)f(t)dt)'=(x^2)f(x)
となるので，すべてを足し合わせると
dF(x)/dx=(2x)∫［a～x］f(t)dt-2∫［a～x］tf(t)dt
これで答えが求まっていると思わないですか？

補足

ご回答ありがとうございます。

>問題文のどこかにF(x)とf(x)の関係が書いてありましたか？
>何もかいていないのでしたらF(x)とf(x)は無関係ということですね。
f(x)の原始関数がF(x)だと認識していました。

F(x)=（(x-t)^2）f(t)dtを展開して
F(x)=(x^2)∫［a～x］f(t)dt-2x∫［a～x］tf(t)dt+∫［a～x］(t^2)f(t)dt

(1)（(x^2)∫［a～x］f(t)dt）'=2x∫［a～x］f(t)dt+(x^2)f(x)
(2)（-2x∫［a～x］tf(t)dt）'=-2∫［a～x］tf(t)dt-2(x^2)f(x)
(3)（∫［a～x］(t^2)f(t)dt）'=(x^2)f(x)

(F(x))'=(1)+(2)+(3)=2x∫［a～x］f(t)dt-2∫［a～x］tf(t)dt
になるということは分かりました。ありがとうございます。

について、xで微分する場合のtが分かりません？
(∫［a～x］f(t)dt)'=f(x)
(∫［a～x］tf(t)dt）'=xf(x)
(∫［a～x］(t^2)f(t)dt）'=(x^2)f(x)
tにxを代入しているだけでしょうか？なぜ？

申し訳御座いませんが、ご回答よろしくお願い致しますm(__)m

回答No.1

f272

f が区間 I 上連続ならば、f の不定積分
G(x)=∫［a～x］f(t)dt
は I 上微分可能で、
G'(x)=f(x)
が成り立つ。

F(x)=(x^2)∫［a～x］f(t)dt-2x∫［a～x］tf(t)dt+∫［a～x］(t^2)f(t)dt

この2つがわかっていれば簡単。

お礼

すいません。わからないのでご回答頂けませんでしょうか？
よろしくお願い致しますm(_ _)m

補足

ご回答ありがとうございます。理解できません・・・
G(x)=∫［a～x］f(t)dtは I 上微分可能で、G'(x)=f(x)が成り立つ。
は理解できます。

F(x)=(x^2)∫［a～x］f(t)dt-2x∫［a～x］tf(t)dt+∫［a～x］(t^2)f(t)dt
も式を展開すれば作ることができました。

f(t)の積分はF(t)とすれば良いのでしょうか？
F(x)=(x^2)∫［a～x］f(t)dt＝(x^2)（F(x)-F(a)）で良いのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。