知っているとカッコイイ、シンプルかつ難しい数学の問題教えてください！(例有り)

質問

こんにちは。

口頭で出題できるくらいシンプルなんだけど、でも難しいような数学の問題をお教えくださいませんか？
設問と回答をご用意していただけると大変うれしく思います。
よろしくお願いします！

若干簡単ですがこんな感じです。
問題「3を3回と、数学記号を自由に使って0～10までの数を表せ」

0:3*(3-3)
1:3^3-3
2:(3+3)/3
3:3+3-3
4:3+3/3
5:3!/3+3
6:3*3-3
7:3!+3/3
8:3!+3!/3
9:3+3+3
10:(3.3(3の上に点で循環小数))*3

回答No.2

egarashi

e^πとπ^eの大小関係

解答
f(x)=(lnx)/x
を考える。xで微分すると、
f'(x)=(1-lnx)/(x^2)
故に、x≧eにおいて、
f'(x)≦0
故に、この区間ではf(x)は単調減少している。
よって、
f(e)＞f(π)
即ち、
1/e＞(lnπ)/π
故に、
π＞elnπ
よって、
ln(e^π)＞ln(π^e)
e＞1より、
e^π＞π^e

まあ、出題しやすいと思います。かっこいいかはわかりません…

回答No.1

Ae610

「Brunの定理」：双子素数の逆数の和が収束する。

申し訳ありませんが、当方も、E.Landauの本で学習途上ですので、紹介のみしか出来ません。