循環節の桁と有理数の分母

質問

高校1年生です。

循環小数の循環節の桁数は、その循環小数を分数に表記した時の分母の数より必ず小さくなるそうです。

例えば、循環小数 0.142857142857・・・の循環節は「142857」で6桁ですよね。
0.142857142857・・・を分数表記すると、7分の1です。
循環節の桁数（６）は、分数表記の分母（７）より小さくなっています。

これは何故なのでしょうか？
出来れば数学の苦手な自分にも分かる説明でお願いします(TOT)
分かりづらい点があれば御指摘お願いします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

7分の1を割り算の筆算で計算してみてください。
割り算の筆算の手順を考えてもらえば分かると思いますが、
割り算の筆算では余りの数字の右側に0を加えた数を割っていきます。

例
　　０．１
　＿＿＿＿
７）１．０
　　　　７
　　―――
　　　　３

余りが3なら次は

　　０．１
　＿＿＿＿＿
７）１．０
　　　　７
　　――――
　　　　３０

という感じで、30を7で割ることになります。

割る数が7なら、余りは1～6の6種類しかありません
(余りが0だと「割りきれる」ということになるので、今回は「余り0」を除外して考えます)。
つまり筆算の計算過程では、10÷7、20÷7、30÷7、40÷7、50÷7、60÷7が
延々と繰り返されます。
商の各位の数を求める計算が全部で6種類(上記の10÷7, …, 60÷7)なので、循環小数の循環節は6桁になります。

回答No.4

tsukita

回答者No3です。

すみません。質問の意味を読み違えていました。
No3の回答は無視してください。

回答No.3

tsukita

これまでの回答者さんの割り算の余りの観点の説明は面白いと思いました。私はもうひとつの観点で説明しようと思います。

一般的に説明しようとすると（文字などを使って説明しようとすると）なんだか余計に複雑になってしまうような気がしますので、質問で取り上げている例
>0.142857142857・・・の循環節は「142857」で6桁
で説明します。

いまx=0.142857142857・・・とおくと、
10^6 x = 142857.142857・・・
10^6 x = 142857 + x
(10^6 - 1)x = 142857
999999 x = 142857
ゆえに
x=142857/999999　・・・　6桁分の6桁

となります。このとき注目すべきなのは、
999999が循環桁数（この場合6桁）の数の中で最大の数であるということです。従って、分母は必ず6桁（約分できたとしても6桁以下）になります。

回答No.2

htms42

７で割った数字が循環小数になる場合、余りには１～６の６つの数字しか出てきません。最大６桁になります。筆算でやってみれば分かるというご説明が＃１にあります。

筆算で分かる事をついでに

１３で割ればどうなるでしょうか。
最大１２桁で繰り返すというのは分かります。
やってみると６桁で繰り返す２つのグループに分かれます。
分子が　１，３，４，９，１０，１２　の時は７６９２３０
２，５，６，７，８，１１　の時は１５３８４６
になります。

４０以下の素数で循環小数が２つ以上のグループに分かれるのは
３，１１，１３，３１，３７
です。

循環小数がいくつのグループに分かれるかの判断基準はあるのでしょうか。私には分かりません。
３１は２つのグループに、３７は１２のグループに分かれます。