自明かもしれませんが

質問

「任意の正の実数x,yが与えられていて、ｚ=x＋yと定義する。
このときｚも任意の正の実数として表わされることを示せ」という質問です。
xもyも共に任意の正の実数であるから、これらを足し合わせても当然任意の正の実数で表せるのは自明でないかと思うかもしれませんが。
εーδ論法などは、証明する際に自明として扱っているのです。
ただ、そんなことは大学の数学も定義としては出していないはずです。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

その命題は、実数の定義の一部であり、公理のひとつです。
実数の普通の定義は、「アルキメデス的完備順序体」ですが、
質問の命題は、順序体における順序と加法の両立性公理
として知られています。

回答No.3

kabaokaba

＞「任意の正の実数x,yが与えられていて、ｚ=x＋yと定義する。
＞このときｚも任意の正の実数として表わされることを示せ」

これは
任意の正の数zに対して，二つの正の数xとyをうまく選べば
z=x+y
とあらわすことができる
ってことですか？
それなら，稠密性を使えばすぐでしょう
z>0ならば，z>y>0を満たすyが存在し（稠密性），
x=z-y とおけば，x>0であり，z=x+y
＃いくつか実数の公理とかを使ってるけど
＃それは自分でチェックを

＞εーδ論法などは、証明する際に自明として扱っているのです。
＞ただ、そんなことは大学の数学も定義としては出していないはずです。
そもそも「ε-δ論法」は命題じゃないから
自明も何もありません．
あくまでも
「あの手の議論全体に漠然と命名された」
名前にすぎません．
＃このあたり「三段論法」とか「背理法」「帰納法」とは違う
＃こいつらには「厳密な定義」がある
＃（ある意味「命題」みたいなもの）

きちんとした教科書なり授業なら
きちんと「ε-δ論法」と呼ばれるものを使うときに
でてくる各種の定義やら命題がでてきています．
基本的には，各種の「定義」のほかには
「任意」「存在」「ならば」「絶対値（の不等式）の扱い」が
メインでしょう．

回答No.1

proto

x > 0
両辺にyを足して
　　x+y > 0+y = y > 0
　　x+y > 0
よって
　　z = x+y >0