数学の講師仲間である議論,どちらの同値変形が真？

質問

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
人によって違う意見で、正しい意見が分からなくなりました。

文字はすべて実数とします。

y=x+2 かつ x=1 ⇔ y=3

y=x+2 かつ x=1 ⇔ y=3 かつ x=1

どちらが正しいですか?　それともどちらでもいいですか？

x+z=y+z ⇔ x=y

x+z=y+z ⇔ x=y　かつ zは任意

どちらが正しいですか?　それともどちらでもいいですか？

回答No.8

Caper · ベストアンサー

● ANo.1 の [お礼]欄 において、ddgddddddd さん は次のとおりに記述なさいました。

　 条件「 y = x + 2 かつ x = 1 」を満たす集合を求めよ。

　 これが設問の文章であるとするならば、記述が不十分ではないかと、私は思います。私が思いついた設問の文案は、例えば、次の 2つ です。

・ 条件「 y = x + 2 かつ x = 1 」を満たす ? から成る集合を求めよ。
・ 条件「 y = x + 2 かつ x = 1 」を満たす ? をすべてかき集めて作った集合を求めよ。

　 ? の部分が、仮に、y であるとするならば、その集合は、次のとおりに表記されるのではないかと、私は思います。

1) {y| y = x + 2 かつ x = 1} = {y| (y = x + 2)∧(x = 1)}

　 上記の 1) は x に依存する集合です。ですから、その集合を P(x) などと表記しても支障はないでしょう。

1) P(x) = {y| y = x + 2 かつ x = 1} = {y| (y = x + 2)∧(x = 1)}

　 x = 1 のとき、P(x) = {y| y = 3} = {3} となります。そして、x ≠ 1 のとき、P(x) = φ となります。

　 次に、? の部分が、仮に、(x, y) であるとするならば、その集合は、次のとおりに表記されるのではないかと、私は思います。

2) {(x, y)| y = x + 2 かつ x = 1} = {(x, y)| (y = x + 2)∧(x = 1)}

　 このとき、2) は {(1, 3)} でよいのではないでしょうか。もちろん、{(x, y)| y = 3 かつ x = 1} と表記しても支障はないと、私は思います。

● また、ANo.1 の [お礼]欄 において、ddgddddddd さん は次のとおりに記述なさいました。

　 x + z = y + z となる必要十分条件を求めよ。
　 (答) x = y
　 (答) x = y かつ z は任意

　 この 2つ の答えはどちらも正しいと、私は思います。その理由は次のとおりです。

　 最後の「 z は任意 」という条件は、z ∈ R ( R は実数全体の集合を表わす記号であるとします ) という条件と同じであると、私は思います。私のこの説が正しいとする場合、考察の対象となる全称命題の形は、次の 3) と 4) になります。

　 A(x) = (x ∈ R)
　 B(y) = (y ∈ R)
　 C(z) = (z ∈ R)
　 D(x, y, z) = (x + y = y + z)
　 E(x, y) = (x = y)

3) ∀x(∀y(∀z((A∧B∧C)→(D←→E))))
4) ∀x(∀y(∀z((A∧B∧C)→(D←→(C∧E)))))

　 (A∧B∧C)→(D←→E) と (A∧B∧C)→(D←→(C∧E)) とは同値です。

● 以上における私の記述がまちがっていましたら、ひらにごめんなさい。また、私の記述の中にわかりにくい個所・まちがいではないかと思われる個所がありましたら、[補足]機能 を利用するなどして、遠慮なくご指摘ください。

回答No.9

Caper

ごめんなさい。私は ANo.8 を投稿した者です。ANo.8 に誤記がありました。訂正させてください。

　真ん中の ●項目 においてです。

( 誤 )
　D(x, y, z) = (x + y = y + z)

( 正 )
　D(x, y, z) = (x + z = y + z)

回答No.7

alice_44

変項を束縛しないと、等式は命題になりません。
式だけで扱っているから、変なことになるのだと思います。
きちんと束縛して、
∀x,y,z, x+z=y+z ⇔ ∀x,y,z, x=y
∀x,y,z, x+z=y+z ⇔ ∀x,y,z, (x=y かつ zは任意)
と書けば、
「zは任意」を書いても、書かなくても、
ふたつの右辺はもともと同値だということが解かるでしょう。

お礼

ありがとうございます。

∀y, y=x+2 かつ x=1 ⇔ ∀y,y=3

∀x,y, y=x+2 かつ x=1 ⇔ ∀x,y, y=3 かつ x=1

ということでしょうか？

回答No.6

atomonados

Ｎｏ．３です。

＞これが間違いというご意見は他の方と異なっているのですが、どうなのでしょうか？

私の間違いです。

「×　x+z=y+z ⇔ x=y　」について

○　x+z=y+z → x=y

大前提「文字は実数とします」と，仮定「x+z=y+z」によって，x,y,zが実数であることは明白に定義されており，等式の性質を根拠にして，任意のzについて「x+z=y+z」を結論とするのは妥当な推論とした。

×　x+z=y+z ← x=y

この推論のみに着目すると，仮定「x=y」に与えられた文字x,yが大前提の「文字は実数とします」の効果を受けているにしても，この推論の過程で突如として使用される文字zは，推論を行うものの意図を明確にするため，出現時点で定義されなければならぬものと解し，未定義であるとした。すなわち大前提の実数定義の効果を受けないとした。

しかし，そうであっても反証は有効ではないので，
○　x+z=y+z ← x=y
に訂正します。

「×　x+z=y+z ⇔ x=y　かつ zは任意」について

「zは任意である」を「x+z=y+z」から導く方法を知らない。
あるいは，数学的根拠から「zは任意である」を提示することもできない。
そこで，「x+z=y+z → x=y　かつ zは任意」を妥当でない推論とした。

なお「zは任意である」が条件として，推論とは独立に，推論の過程であたえられ得ることが誤解なく了解されなかったのは，「x=y　かつ zは任意」という形式上の命題表現のためである。

回答No.4

hrsmmhr

設問に定義してある変数では定義に合わなければ同値でなく
自分で合うように定義した変数は同値です

回答No.3

atomonados

反例

y=3ならば，x=5かつy=x-2がいえる。

x=yならば，x+i=y+i (iは虚数単位)がいえる。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

文字はすべて実数とします。

×　y=x+2 かつ x=1 ⇔ y=3

○　y=x+2 かつ x=1 ⇔ y=3 かつ x=1

どちらが正しいですか?　それともどちらでもいいですか？

×　x+z=y+z ⇔ x=y

×　x+z=y+z ⇔ x=y　かつ zは任意

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

それより，何を出題意図としているの？

お礼

ありがとうございます。

×　x+z=y+z ⇔ x=y
×　x+z=y+z ⇔ x=y　かつ zは任意

これが間違いというご意見は他の方と異なっているのですが、どうなのでしょうか？

回答No.2

bara2001

同値というのは、言い方を変えれば必要十分条件を満たす関係です。
命題Ａから命題Ｂを導くことができると同時に、命題Ｂから命題Ａを導くことができなければなりません。

命題「y=x+2 かつ x=1」からは命題「y=3」を導くことはできます。
ですが命題「y=3」から命題「y=x+2 かつ x=1」を導くことはできません。
「y=x+1 かつ x=2」だったり「y=x－９７ かつ x=100」だったりしても良いわけです

なので同値の関係としては命題「y=x+2 かつ x=1」と命題「y=3 かつ x=1」となります。

次に命題「x+z=y+z」と命題「x=y」については、どちらの命題からどちらの命題も導くことができるので、これだけで十分です。
わざわざ「ｚは任意」などと余計なことを付け加える必要はありません。数学ではあたりまえのことは書かないのが普通です。

お礼

ありがとうございます。

>ですが命題「y=3」から命題「y=x+2 かつ x=1」を導くことはできません。

y=3 ⇒ y=a+2 (ただし、a=1)

y=3 ⇒ y=x+2 (ただし、x=1)

は正しいですか?

>次に命題「x+z=y+z」と命題「x=y」については、どちらの命題からどちらの命題も導くことができるので、これだけで十分です。

No1さんは、厳密にはすべての変数について記述しなければいけないとおっしゃいました。
どちらの方の意見が正しいですか?

回答No.1

tac351115

ある変数について記述がない場合に、どのように約束するかを決めないと議論できません。

例えば、ｘについての定義が無い場合、「変数ｘ自体が存在しない」とするのか、「ｘは任意」とするのか、「ｘは不能」とするのか、です。

いずれにしても、厳密には左辺にある変数は全て右辺でも定義しないといけないでしょう。

お礼

ありがとうございます。

>ある変数について記述がない場合に、どのように約束するかを決めないと議論できません。

確かに背景があいまいに感じられるのも事実です。
しかし、わざとあいまいにして、一般的な記述の習慣というのをお聞きしたかったのでした。

x+z=y+z となる必要十分条件を求めよ。
(答) x=y
(答) x=y かつ zは任意

どちらが正しいですか?　

条件「y=x+2 かつ x=1」を満たす集合を求めよ。
(答){y|y=3}
(答){(x,y)|y=3 かつ x=1}

どちらが正しいですか?